2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(一)学习目标1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.知识点一平面向量数量积的物理背景及其定义一个物体在力F的作用下产生位移s，如图.思考1如何计算这个力所做的功？答案 W|F|s|cos .思考2力做功的大小与哪些量有关？答案 与力的大小、位移的大小及它们之间的夹角有关.梳理条件非零向量a与b，a与b的夹角为结论数量|a|b|cos 叫做向量a与b的数量积(或内积)记法向量a与b的数量积记作ab，即ab|a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积为0知识点二平面向量数量积的几何意义思考1什么叫做向量b在向量a上的投影？什么叫做向量a在向量b上的投影？答案如图所示，a，b，过B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1|b|cos .|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 叫做向量a在b方向上的投影.思考2向量b在向量a上的投影与向量a在向量b上的投影相同吗？答案由投影的定义知，二者不一定相同.梳理(1)条件：向量a与b的夹角为.(2)投影：向量b在a方向上的投影|b|cos 向量a在b方向上的投影|a|cos (3)ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积.知识点三平面向量数量积的性质思考1向量的数量积运算结果和向量的线性运算的结果有什么区别？答案 向量的线性运算结果是向量，而向量的数量积是数量.思考2非零向量的数量积是否可为正数，负数和零，其数量积的符号由什么来决定？答案 由两个非零向量的夹角决定.当090时，非零向量的数量积为正数.当90时，非零向量的数量积为零.当90180时，非零向量的数量积为负数.梳理设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为，(1)abab0.(2)当ab时，ab(3)aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.类型一求两向量的数量积例1已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a与b的夹角为30时，分别求a与b的数量积.解(1)ab，若a与b同向，则0，ab|a|b|cos 04520；若a与b反向，则180，ab|a|b|cos 18045(1)20.(2)当ab时，90，ab|a|b|cos 900.(3)当a与b的夹角为30时，ab|a|b|cos 304510.反思与感悟求平面向量数量积的步骤是：(1)求a与b的夹角，0，180；(2)分别求|a|和|b|；(3)求数量积，即ab|a|b|cos ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“”连接，而不能用“”连接，也不能省去.跟踪训练1已知菱形ABCD的边长为a，ABC60 ，则等于()A.a2 B.a2C.a2 D.a2答案D解析如图所示，由题意，得BCa，CDa，BCD120. ()2aacos 60a2a2.类型二求向量的模例2已知|a|b|5，向量a与b的夹角为，求|ab|，|ab|.解ab|a|b|cos 55.|ab| 5.|ab| 5.引申探究若本例中条件不变，求|2ab|，|a2b|.解ab|a|b|cos 55，|2ab| 5.|a2b| 5.反思与感悟此类求解向量模的问题就是要灵活应用a2|a|2，即|a|，勿忘记开方.跟踪训练2已知|a|b|5，且|3a2b|5，求|3ab|的值.解|3a2b|29|a|212ab4|b|292512ab42532512ab，|3a2b|5，32512ab25，ab25.|3ab|2(3ab)29a26abb292562525400，故|3ab|20.类型三求向量的夹角例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a2mn与b2n3m的夹角.解|n|m|1且m与n夹角是60，mn|m|n|cos 6011.|a|2mn| ，|b|2n3m| ，ab(2mn)(2n3m)mn6m22n26121.设a与b的夹角为，则cos .又0，故a与b的夹角为.反思与感悟求向量夹角时，应先根据公式把涉及到的量先计算出来再代入公式求角，注意向量夹角的范围是0，.跟踪训练3已知ab9，a在b方向上的投影为3，b在a方向上的投影为，求a与b的夹角.解即cos .又0180，120.1.已知|a|8，|b|4，a，b120，则向量b在a方向上的投影为()A.4 B.4 C.2 D.2答案D解析向量b在a方向上的投影为|b|cosa，b4cos 1202.2.设向量a，b满足|ab|，|ab|，则ab等于()A.1 B.2 C.3 D.5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，由得4ab4，ab1.3.若ab，c与a及与b的夹角均为60，|a|1，|b|2，|c|3，则(a2bc)2_.答案11解析(a2bc)2a24b2c24ab2ac4bc124223240213cos 60423cos 6011.4.在ABC中，|13，|5，|12，则的值是_.答案25解析易知|2|2|2，C90.cos B，又cos ，cos(180B)，|cos(180B)13525.5.已知正三角形ABC的边长为1，求：(1)；(2)；(3).解(1)与的夹角为60.|cos 6011.(2)与的夹角为120，|cos 12011.(3)与的夹角为60，|cos 6011.1.两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a0，b0，090时)，也可以为负(当a0，b0，90180时)，还可以为0(当a0或b0或90时).2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.3.ab|a|b|cos 中，|b|cos 和|a|cos 分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分.4.求投影有两种方法(1)b在a方向上的投影为|b|cos (为a，b的夹角)，a在b方向上的投影为|a|cos .(2)b在a方向上的投影为，a在b方向上的投影为.5.两非零向量a，b，abab0，求向量模时要灵活运用公式|a|.课时作业一、选择题1.已知|a|2，|b|3，|ab|，则|ab|等于()A. B.C. D.答案A解析因为|ab|219，所以a22abb219，所以2ab19496，于是|ab|.2.已知|a|3，|b|4，且a与b的夹角150，则ab等于()A.6 B.6 C.6 D.6答案C3.已知|a|9，|b|6，ab54，则a与b的夹角为()A.45 B.135 C.120 D.150答案B解析cos ，0180，135.4.若|a|2，|b|4，向量a与向量b的夹角为120，则向量a在向量b方向上的投影等于()A.3 B.2 C.2 D.1答案D解析向量a在向量b方向上的投影是|a|cos 2cos 1201.5.已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()A.|a|B.|ab|a|b|C.(ab)abD.|ab|a|b|答案B解析因为|ab|a|b|cos |(为向量a与b的夹角)|a|b|cos |，当且仅当0或 时，使|ab|a|b|，故B错.6.已知|a|2|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()A.0， B.，C.， D.，答案B解析a24|a|b|cos (为向量a与b的夹角)，若方程有实根，则有0，即a24|a|b|cos 0，又|a|2|b|，4|b|28|b|2cos 0，cos ，又0，.7.已知ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE2EF，则的值为()A. B. C. D.答案B解析如图所示，()()|2|2111.故选B.8.在四边形ABCD中，且0，则四边形ABCD是()A.矩形 B.菱形C.直角梯形 D.等腰梯形答案B二、填空题9.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60，则(2e1e2)(3e12e2)_.答案10.若|a|1，|b|2，cab，且ca，则向量a与b的夹角为_.答案12011.已知单位向量e1与e2的夹角为，且cos ，若向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.答案解析|a| 3，|b| 2，ab(3e12e2)(3e1e2)9e9e1e22e991128，cos .12.已知向量a在向量b方向上的投影是，|b|3，则ab的值为_.答案2解析ab|a|b|cosa，b|b|