第三章第三章 三角恒等变换三角恒等变换 学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公 式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明. 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos()cos cos sin sin . cos()cos cos sin sin . sin()sin cos cos sin . sin()sin cos cos sin . tan(). tan tan 1tan tan tan(). tan tan 1tan tan 2.二倍角公式 sin 22sin cos . cos 2cos2sin22cos2112sin2. tan 2. 2tan 1tan2 3.升幂缩角公式 1cos 22cos2. 1cos 22sin2. 4.降幂扩角公式 sin xcos x，cos2x， sin 2x 2 1cos 2x 2 sin2x. 1cos 2x 2 5.和差角正切公式变形 tan tan tan()(1tan tan )， tan tan tan()(1tan tan ). 6.辅助角公式 yasin xbcos xsin(x). a2b2 类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用 例 1 已知，为锐角，cos ，tan() ，求 cos 的值. 4 5 1 3 解 是锐角，cos ， 4 5 sin ，tan . 3 5 3 4 tan tan(). tan tan 1tan tan 13 9 是锐角，cos . 9 10 50 反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换 时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如2，() ( 2) ，()， ()()， ()()等. 1 2 1 2 跟踪训练 1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，它们的 终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，. 3 10 10 2 5 5 (1)求 tan()的值； (2)求的值. 解 (1)由题可知，cos ，cos . 3 10 10 2 5 5 由于，为锐角，则 sin ，sin ， 10 10 5 5 故 tan ，tan ， 1 3 1 2 则 tan() . tan tan 1tan tan 1 3 1 2 11 6 1 7 (2)因为 tan()1， 1 3 1 2 11 6 sin ，sin ， 10 10 2 2 5 5 2 2 即，故. 2 4 类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用 例 2 求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR R 的最值及取到最值时x的值. 解 设 sin xcos xt， 则tsin xcos x 2( 2 2 sin x 2 2 cos x) sin， 2 (x 4) t， 22 sin xcos x. sin xcos x21 2 t21 2 f(x)sin xcos xsin xcos x， g(t)t (t1)21，t，. t21 2 1 222 当t1，即 sin xcos x1 时，f(x)min1， 此时，由 sin， (x 4) 2 2 解得x2k 或x2k，kZ Z. 2 当t，即 sin xcos x时，f(x)max ， 222 1 2 此时，由sin，即 sin1， 2 (x 4)2 (x 4) 解得x2k，kZ Z. 4 综上，当x2k 或x2k，kZ Z 时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当 2 x2k，kZ Z 时，f(x)取得最大值，f(x)max . 42 1 2 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和 推理，这个“元”可以明确地设出来. 跟踪训练 2 求函数ysin xsin 2xcos x(xR R)的值域. 解 令 sin xcos xt， 则由tsin知，t，. 2 (x 4)22 又 sin 2x1(sin xcos x)21t2， y(sin xcos x)sin 2xt1t2 2 . (t 1 2) 5 4 当t 时，ymax ； 1 2 5 4 当t时，ymin1. 22 函数的值域为. 21， 5 4 类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用 例 3 已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xR R. 3 (x 2) (x 5 2 ) (1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； 0， 2 (2)若f(x0) ，x0，求 cos 2x0的值. 6 5 4 ， 2 解 (1)因为f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1) 3 sin 2xcos 2x2sin， 3 (2x 6) 所以f(x)的最小正周期为 . 又因为x0，所以 2x， 2 6 6 7 6 所以f(x)的最大值为 2，最小值为1. (2)由(1)可知，f(x0)2sin. (2x0 6) 又因为f(x0) ， 6 5 所以 sin . (2x0 6) 3 5 由x0，得 2x0， 4 ， 2 6 2 3 ，7 6 所以 cos ， (2x0 6) 1sin2(2x0 6) 4 5 cos 2x0cos(2x0 6) 6 coscos sinsin (2x0 6) 6 (2x0 6) 6 . 34 3 10 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函 数，这是解决问题的前提. (2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角 的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其 图象和性质. 跟踪训练 3 已知 cos ，x，求的值. ( 4 x) 3 5 17 12 7 4 sin 2x2sin2x 1tan x 解 sin 2x2sin2x 1tan x 2sin xcos x2sin2x 1sin x cos x 2sin xcos xcos xsin x cos xsin x sin 2x1tan x 1tan x sin 2xtan. ( 4 x) x，x2， 17 12 7 4 5 3 4 又cos ，sin . ( 4 x) 3 5 ( 4 x) 4 5 tan . ( 4 x) 4 3 cos xcos( 4 x) 4 coscos sinsin ( 4 x) 4 ( 4 x) 4 . 2 2 ( 3 5 4 5) 2 10 sin xsin( 4 x) 4 sincos sin cos， ( 4 x) 4 4 ( 4 x) 7 2 10 sin 2x. 7 25 sin 2x2sin2x 1tan x 28 75 类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例 4 已知 sin x2cos y2，求 2sin xcos y的取值范围. 解 设 2sin xcos ya. 由Error!解得Error! 从而Error!解得 1a . 5 2 故 2sin xcos y的取值范围是. 1， 5 2 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或 三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决. 跟踪训练 4 已知关于的方程cos sin a0 在区间(0，2)上有两个不相等 3 的实数解，求 cos()的值. 解 设xcos ，ysin ，则有Error! 消去y，并整理得 4x22axa210. 3 由已知得 cos ，cos 是的两个实数解， 由根与系数的关系，得Error! sin sin (cos a)(cos a) 33 3cos cos (cos cos )aa2 3 . a23 4 cos()cos cos sin sin . a21 4 a23 4 1 2 1.若是第三象限角，且 sin()cos sin cos()，则 tan 等于 5 13 2 ( ) A.5 B. C. D.5 5 13 12 13 答案 A 解析 sin()cos sin cos() sin()sin ， 5 13 又是第三象限角，cos . 12 13 tan 5. 2 1cos sin 1(12 13) 5 13 2.已知是第三象限角，且 sin4cos4 ，则 sin 2等于( ) 5 9 A. B. 2 2 3 2 2 3 C. D. 2 3 2 3 答案 A 解析 由 sin4cos4 5 9 (sin2cos2)22sin2cos2 1 sin22， 1 2 得 sin22 ，即 sin22 . 1 2 4 9 8 9 又2k2k(kZ Z)， 3 2 4k224k3(kZ Z)， 故 sin 2.故选 A. 2 2 3 3.已知 sin cos ，sin cos ，则 sin() . 1 3 1 2 答案 59 72 解析 由(sin cos )2(sin cos )2， 13 36 得 2sin()， 59 36 即 sin(). 59 72 4.设为锐角，若 cos ，则 sin的值为 . ( 6) 4 5 (2 12) 答案 17 2 50 解析 为锐角且 cos ， ( 6) 4 5 sin . ( 6) 3 5 sin2sincos， (2 3) ( 6) ( 6) 24 25 cos2cos21， (2 3) ( 6) 7 25 sinsin (2 12) (2 3 4) . 2 2sin(2 3)cos(2 3) 17 2 50 5.已知函数f(x)cos xsin(x)cos2x，xR R. 33 3 4 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求