课时分层训练课时分层训练( (二十四二十四) ) 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 (对应学生用书第 243 页) A A 组 基础达标 一、选择题 1在ABC中，若，则B的值为( ) sin A a cos B b A30 B45 C60D90 B B 由正弦定理知：，sin Bcos B，B45. sin A sin A cos B sin B 2在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是( ) A有一解B有两解 C无解D有解但解的个数不确定 C C 由正弦定理得， b sin B c sin C sin B1. bsin C c 40 3 2 203 角B不存在，即满足条件的三角形不存在 3ABC中，c，b1，B，则ABC的形状为( ) 3 6 A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰三角形或直角三角形 D D 根据余弦定理有 1a233a，解得a1 或a2，当a1 时，三角形ABC为 等腰三角形，当a2 时，三角形ABC为直角三角形，故选 D. 4在ABC中，若AB，BC3，C120，则AC( ) 13 A1 B2 C3D4 A A 由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即 13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1 或AC4(舍去)故选 A. 5(2018南昌一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为( ) 【导学号：79140133】 A.B 1 2 1 4 C1D2 A A 因为 cos 2Asin A，所以 12sin2Asin A，则 sin A (舍负)，则ABC的 1 2 面积为bcsin A 2 ，故选 A. 1 2 1 2 1 2 1 2 二、填空题 6在ABC中，a2，b3，c4，则其最大内角的余弦值为_ 因为cba，所以在ABC中最大的内角为角C，则由余弦定理，得 cos 1 4 C . a2b2c2 2ab 4916 2 2 3 1 4 7如图 371 所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3 2 2 3 ，AD3，则BD的长为_ 2 图 371 sinBACsin(90BAD)cosBAD， 3 3 2 2 3 在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD， BD21892333， 2 2 2 3 BD. 3 8(2017全国卷改编)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C_. 2 【导学号：79140134】 因为a2，c， 62 所以由正弦定理可知， 2 sin A 2 sin C 故 sin Asin C. 2 又B(AC)， 故 sin Bsin A(sin Ccos C) sin(AC)sin Asin Csin Acos C sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C (sin Acos A)sin C 0. 又C为ABC的内角， 故 sin C0， 则 sin Acos A0，即 tan A1. 又A(0，)，所以A. 3 4 从而 sin Csin A . 1 2 2 2 2 2 1 2 由A知C为锐角，故C. 3 4 6 三、解答题 9(2018银川质检)如图 372，在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 2acos Cc2b. 图 372 (1)求角A的大小； (2)若c，角B的平分线BD，求a. 23 解 (1)2acos Cc2b， 由正弦定理得 2sin Acos Csin C2sin B， 2sin Acos Csin C2sin(AC)2sin Acos C2cos Asin C， sin C2cos Asin C. sin C0，cos A . 1 2 又A(0，)，A. 2 3 (2)在ABD中，由正弦定理得， AB sinADB BD sin A sinADB. ABsin A BD 2 2 又ABBD，ADB. 4 ABC，ACB. 6 6 ACAB， 2 由余弦定理得 aBC. AB2AC22ABACcos A6 10(2016全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 2cos C(acos Bbcos A)c. (1)求C； (2)若c，ABC的面积为，求ABC的周长 7 3 3 2 解 (1)由已知及正弦定理得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C， 即 2cos Csin(AB)sin C， 故 2sin Ccos Csin C. 可得 cos C ，所以C. 1 2 3 (2)由已知得absin C. 1 2 3 3 2 又C，所以ab6. 3 由已知及余弦定理得a2b22abcos C7， 故a2b213，从而(ab)225. 所以ABC的周长为 5. 7 B B 组 能力提升 11在ABC中，sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，则A的取值范围是( ) A.B (0， 6 6 ，) C.D (0， 3 3 ，) C C 由已知及正弦定理有a2b2c2bc， 由余弦定理可知a2b2c22bccos A， 于是b2c22bccos Ab2c2bc，cos A ， 1 2 在ABC中，A(0，) 由余弦函数的性质，得 0A. 3 12(2017山东高考)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三 角形，且满足 sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是( ) Aa2bBb2a CA2BDB2A A A 等式右边sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin (AC)sin Acos Csin B， 等式左边sin B2sin Bcos C， sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B. 由 cos C0，得 sin A2sin B. 根据正弦定理，得a2b. 故选 A. 13在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列， 且a2c，则 cos A_. 【导学号：79140135】 因为 sin A，sin B，sin C成等差数列，所以 2sin Bsin Asin C. 1 4 因为， a sin A b sin B c sin C 所以ac2b， 又a2c，可得bc， 3 2 所以 cos A . b2c2a2 2bc 9 4c2c24c2 2 3 2c2 1 4 14(2018兰州模拟)在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若 tan Atan C(tan Atan C1) 3 (1)求角B； (2)如果b2，求ABC面积的最大值 解 (1)tan Atan C(tan Atan C1)， 3 即，tan(AC)， tan Atan C 1tan Atan C33 又ABC，tan B， 3 B为三角形内角，B. 3 (2)在ABC中，由余弦定理得 cos B ， a2c2b2 2ac 1 2 a2c2ac4， a2c22ac，ac4，当且仅当ac2 时，等号成立， ABC的面积Sacsin B 4， 1 2 1 2 3 23 ABC面积的最大值为. 3