课时分层训练课时分层训练( (七十七十) ) 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差 A A 组 基础达标 一、选择题 1若离散型随机变量X的分布列为( ) X01 P a 2 a2 2 则X的数学期望EX( ) A2 B2 或 1 2 CD1 1 2 C C 因为分布列中概率和为 1，所以 1，即a2a20，解得a2(舍去)或 a 2 a2 2 a1，所以EX . 1 2 2已知某一随机变量X的分布列如下，且EX6.3，则a的值为( ) X4a9 P0.50.1b A5 B6 C7D8 C C 由分布列性质知：0.50.1b1，b0.4， EX40.5a0.190.46.3，a7. 3(2018湖北调考)已知随机变量满足E(1)5，D(1)5，则下列说法正确 的是( ) AE5，D5 BE4，D4 CE5，D5 DE4，D5 D D 因为E(1)1E5，所以E4.D(1)(1)2D5，所以 D5，故选 D. 4罐中有 6 个红球，4 个白球，从中任取 1 球，记住颜色后再放回，连续摸取 4 次，设X 为取得红球的次数，则X的方差D(X)的值为( ) 【导学号：79140379】 A.B. 12 5 24 25 C.D. 8 5 2 6 5 B B 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为 ，连续摸 3 5 4 次(做 4 次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则XB， (4， 3 5) 所以DX4 . 3 5 (1 3 5) 24 25 5(2018合肥二检)已知 5 件产品中有 2 件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止， 记检测的次数为，则E( ) A3B 7 2 CD4 B B 的可能取值为 2,3,4，P(2)，P(3) A2 2 A2 5 1 10 ，P(4) ，则 A3 3C1 2C1 3A2 2 A3 5 3 10 A3 3C1 2C1 3A3 3C2 3C1 2 A4 5 3 5 E234 ，故选 B. 1 10 3 10 3 5 7 2 二、填空题 6(2016四川高考)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说 这次试验成功，则在 2 次试验中成功次数X的均值是_ 法一：先求出成功次数X的分布列，再求均值 3 2 由题意可知每次试验不成功的概率为 ，成功的概率为 ，在 2 次试验中成功次数X的 1 4 3 4 可能取值为 0,1,2，则P(X0)，P(X1)C ， 1 161 2 1 4 3 4 3 8 P(X2). ( 3 4) 2 9 16 所以在 2 次试验中成功次数X的分布列为 X012 P 1 16 3 8 9 16 则在 2 次试验中成功次数X的均值为 EX01 2 . 1 16 3 8 9 16 3 2 法二：此试验满足二项分布，其中p ，所以在 2 次试验中成功次数X的均值为 3 4 EXnp2 . 3 4 3 2 7设X为随机变量，XB，若随机变量X的均值EX2，则P(X2)等于 (n， 1 3) _ 由XB，EX2，得 80 243 (n， 1 3) npn2，n6， 1 3 则P(X2)C. 2 6( 1 3) 2 (1 1 3) 4 80 243 8某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动， 具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直 射击到 3 次为止设甲每次击中的概率为p(p0)，射击次数为Y，若Y的数学期望 EY ，则P的取值范围是_. 7 4 【导学号：79140380】 由已知得P(Y1)p，P(Y2)(1p)p，P(Y3)(1p)2， (0， 1 2) 则EYp2(1p)p3(1p)2p23p3 ，解得p 或p ， 7 4 5 2 1 2 又p(0,1)，所以p. (0， 1 2) 三、解答题 9在一袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上n号的有n个 (n1,2,3,4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号 (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若YaXb，EY1，DY11，试求a，b的值 解 (1)X的取值为 0,1,2,3,4，其分布列为 X01234 P 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 EX0 1234 1.5， 1 2 1 20 1 10 3 20 1 5 DX(01.5)2 (11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5) 1 2 1 20 1 10 3 20 2 2.75. 1 5 (2)由DYa2DX得 2.75a211，得a2， 又EYaEXb， 当a2 时，由 121.5b，得b2； 当a2 时，由 121.5b，得b4， Error!或Error! 10(2017天津高考)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立， 且在各路口遇到红灯的概率分别为 ， . 1 2 1 3 1 4 (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学 期望； (2)若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率 解 (1)随机变量X的所有可能取值为 0,1,2,3. P(X0) ， (1 1 2) (1 1 3) (1 1 4) 1 4 P(X1) ， 1 2 (1 1 3) (1 1 4) (1 1 2) 1 3 (1 1 4) (1 1 2) (1 1 3) 1 4 11 24 P(X2) ， (1 1 2) 1 3 1 4 1 2 (1 1 3) 1 4 1 2 1 3 (1 1 4) 1 4 P(X3) . 1 2 1 3 1 4 1 24 所以，随机变量X的分布列为 X0123 P 1 4 11 24 1 4 1 24 随机变量X的数学期望EX0 12 3. 1 4 11 24 1 4 1 24 13 12 (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求 事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0) P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0) . 1 4 11 24 11 24 1 4 11 48 所以，这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率为. 11 48 B B 组 能力提升 11从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸 取 5 次，设摸得白球数为X，已知EX3，则DX( ) A. B. 8 5 6 5 C.D. 4 5 2 5 B B 由题意，XB. (5， 3 m3) 又EX3，所以m2. 5 3 m3 则XB，故DX5 . (5， 3 5) 3 5 (1 3 5) 6 5 12一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记 10 分，没有击中记 0 分某人每次击中 目标的概率为 ，则此人得分的数学期望为_；方差为_. 2 3 【导学号：79140381】 20 记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则XB，Y10X， 200 3 (3， 2 3) 所以EY10EX103 20， 2 3 DY100DX1003 . 2 3 1 3 200 3 13(2018云南二检)为吸引顾客，某公司在商场举办电子游戏活动对于A，B两种游戏， 每种游戏玩一次均会出现两种结果，而且每次游戏的结果相互独立，具体规则如下：玩 一次游戏A，若绿灯闪亮，获得 50 分，若绿灯不闪亮，则扣除 10 分(即获得10 分)， 绿灯闪亮的概率为 ；玩一次游戏B，若出现音乐，获得 60 分，若没有出现音乐，则扣 1 2 除 20 分(即获得20 分)，出现音乐的概率为 .玩多次游戏后累计积分达到 130 分可以 2 5 兑换奖品 (1)记X为玩游戏A和B各一次所得的总分，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)设某人玩 5 次游戏B，求该人能兑换奖品的概率 解 (1)随机变量X的所有可能取值为 110,50,30，30，分别对应以下四种情 况： 玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，出现音乐； 玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，出现音乐； 玩游戏A，绿灯闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐； 玩游戏A，绿灯不闪亮，且玩游戏B，没有出现音乐 所以P(X110) ， 1 2 2 5 1 5 P(X50) ， (1 1 2) 2 5 1 5 P(X30) ， 1 2 (1 2 5) 3 10 P(X30). (1 1 2) (1 2 5) 3 10 所以X的分布列为 X1105030 30 P 1 5 1 5 3 10 3 10 故EX110 50 303032. 1 5 1 5 3 10 3 10 (2)设某人玩 5 次游戏B的过程中，出现音乐n次(0n5，nN N)，则没出现音 乐 5n次， 依题意得 60n20(5n)130，解得n， 23 8 所以n3 或 4 或 5. 设“某人玩 5 次游戏B能兑换奖品”为事件M， 则P(M)C C . 3 5 ( 2 5) 3 ( 3 5) 2 4 5 ( 2 5) 4 3 5 ( 2 5) 5 992 3 125