2.6 对数与对数函数对数与对数函数 最新考纲考情考向分析 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般 对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中 的作用 2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通 过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 的对数函数的图 1 2 1 3 象 3.体会对数函数是一类重要的函数模型 4.了解指数函数 yax(a0，且 a1)与对数函数 ylogax(a0，且 a1)互为反函数. 以比较对数函数值大小的形式 考查函数的单调性；以复合函 数的形式考查对数函数的图象 与性质，题型一般为选择、填 空题，中低档难度. 1对数的概念 一般地，如果 axN(a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其 中_a_叫做对数的底数，_N_叫做真数 2对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果 a0，且 a1，M0，N0，那么： loga(MN)logaMlogaN； logalogaMlogaN； M N logaMnnlogaM (nR) (2)对数的性质 _N_；logaaN_N_(a0，且 a1) logaN a (3)对数的换底公式 logab(a0，且 a1；c0，且 c1；b0) logcb logca 3对数函数的图象与性质 ylogaxa101 时，y0；当 01 时，y0 性 质 (6)在(0，)上是增函数 (7)在(0，)上是减函 数 4.反函数 指数函数 yax(a0 且 a1)与对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数，它们的图象关于 直线 yx 对称 知识拓展 1换底公式的两个重要结论 (1)logab； 1 logba (2) logab. log m n a b n m 其中 a0 且 a1，b0 且 b1，m，nR. 2对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线 y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故 00，则 loga(MN)logaMlogaN.( ) (2)对数函数 ylogax(a0 且 a1)在(0，)上是增函数( ) (3)函数 yln与 yln(1x)ln(1x)的定义域相同( ) 1x 1x (4)对数函数 ylogax(a0 且 a1)的图象过定点(1,0)且过点(a,1)，函数图象只在第 ( 1 a，1) 一、四象限( ) 题组二 教材改编 2P74T3lg lg 7_. 4 2 7 2 3 lg8 5 答案 1 2 解析 原式lg 4 lg 2lg 7 lg 8lg 7 lg 5 1 2 2 3 1 2 2lg 2 (lg 2lg 5)2lg 2 . 1 2 1 2 3P82A 组 T6已知 a，blog2，c，则 a，b，c 的大小关系为 1 3 2 1 3 1 2 1 log 3 _ 答案 cab 解析 01. 1 2 1 log 3 cab. 4P74A 组 T7函数 y的定义域是_ 2 3 log (21)x 答案 ( 1 2，1 解析 由0，得 00，log5ba，lg bc,5d10，则下列等式一定成立的是( ) Adac Bacd Ccad Ddac 答案 B 6已知函数 yloga(xc)(a，c 为常数，其中 a0，a1)的图象如图，则下列结论成立的 是( ) Aa1，c1 Ba1,01 D00 且 a1)，则实数 a 的取值范围是_ 3 4 答案 (1，) (0， 3 4) 解析 当 01 时，loga1. 3 4 实数 a 的取值范围是(1，) (0， 3 4) 题型一题型一 对数的运算对数的运算 1设 2a5bm，且 2，则 m 等于( ) 1 a 1 b A. B10 10 C20 D100 答案 A 解析 由已知，得 alog2m，blog5m， 则 logm2logm5logm102. 1 a 1 b 1 log2m 1 log5m 解得 m. 10 2计算：_. (lg 1 4lg 25) 1 2 100 答案 20 解析 原式(lg 22lg 52)lg10 1 2 100 ( 1 22 52) lg 1021021020. 3计算：_. 1log632log62log618 log64 答案 1 解析 原式 12log63log632log66 3log66 3 log64 12log63log6321log632 log64 1. 21log63 2log62 log66log63 log62 log62 log62 思维升华 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最 简，然后利用对数运算性质化简合并 (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底 对数真数的积、商、幂的运算 题型二题型二 对数函数的图象及应用对数函数的图象及应用 典例 (1)若函数 ylogax(a0 且 a1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( ) 答案 B 解析 由题意 ylogax(a0 且 a1)的图象过(3,1)点，可解得 a3.选项 A 中， y3x x，显然图象错误；选项 B 中，yx3，由幂函数图象性质可知正确；选项 C 中， ( 1 3) y(x)3x3，显然与所画图象不符；选项 D 中，ylog3(x)的图象与 ylog3x 的图象 关于 y 轴对称，显然不符，故选 B. (2)当 01 时，不符合题意，舍去 所以实数 a 的取值范围是. ( 2 2 ，1) 引申探究 若本例(2)变为方程 4xlogax 在上有解，则实数 a 的取值范围为_ (0， 1 2 答案 ( 0， 2 2 解析 若方程 4xlogax 在上有解，则函数 y4x和函数 ylogax 在上有交点， (0， 1 2 (0， 1 2 由图象知Error!Error!解得 01 时，直线 yxa 与 ylog2x 只有一个交点 题型三题型三 对数函数的性质及应用对数函数的性质及应用 命题点 1 对数函数的单调性 典例 (1)若 ab0,0cb 答案 B 解析 当 00 在区间(，2上恒成立且函数 yx2ax3a 在(， 2上单调递减，则 2 且(2)2(2)a3a0，解得实数 a 的取值范围是4,4)，故 a 2 选 D. 命题点 2 和对数函数有关的复合函数 典例 已知函数 f(x)loga(3ax)(a0 且 a1) (1)当 x0,2时，函数 f(x)恒有意义，求实数 a 的取值范围； (2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1？如果存 在，试求出 a 的值；如果不存在，请说明理由 解 (1)a0 且 a1，设 t(x)3ax， 则 t(x)3ax 为减函数， x0,2时，t(x)的最小值为 32a， 当 x0,2时，f(x)恒有意义， 即 x0,2时，3ax0 恒成立 32a0.a0 且 a1，a 的取值范围为(0,1). (1， 3 2) (2)假设存在这样的实数 a. t(x)3ax，a0，函数 t(x)为减函数 f(x)在区间1,2上为减函数，ylogat 为增函数， a1，x1,2时，t(x)的最小值为 32a，f(x)的最大值为 f(1)loga(3a)， Error!Error!即Error!Error! 故不存在这样的实数 a，使得函数 f(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为 1. 思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响 (2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原 则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题 跟踪训练 (1)设 alog32，blog52，clog23，则( ) Aacb Bbca Ccba Dcab 答案 D 解析 alog32log221，所以 c 最大 由 1，即 ab， 1 log23 1 log25 所以 cab. (2)已知函数 f(x)ln的定义域是(1，)，则实数 a 的值为_ (1 a 2x) 答案 2 解析 由题意，得不等式 10 的解集是(1，)，由 10，可得 2xa，故 a 2x a 2x xlog2a，由 log2a1， 得 a2. 比较指数式、对数式的大小 考点分析 比较大小问题是每年高考的必考内容之一 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结 合的方法 (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同， 而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选 0 或 1. 典例 (1)设 a0.50.5，b0.30.5，clog0.30.2，则 a，b，c 的大小关系是( ) Aclog0.30.31，即 c1. 所以 b1，blog0.40.5(0,1)， clog80.4bc.故选 B. 答案 B (3)若实数 a，b，c 满足 loga2bc Bbac Ccab Dacb 解析 易知 yf(x)是偶函数当 x(0，)时，f(x)f|log2x|，且当 x1，)时， ( 1 x) f(x)log2x 单调递增，又 af(3)f(3)，bff(4)，所以 bac. ( 1 4) 答案 B 1设 alog37，b21.1，c0.83.1，则( ) Ab2. c0.83.1，01 时，1log2x2，解得 x ，所以 x1. 1 2 综上可知 x0. 9(2017南昌模拟)设实数 a，b 是关于 x 的方程|lg x|c 的两个不同实数根，且 a0，则实数 a 的取值范围是 1 2， 2 3 _ 答案 ( 1 3，1) 解析 当 00，即 00，解得 1 时，函数 f(x)在区间上是增函数， 1 2， 2 3 所以 loga(1a)0，即 1a1，且 2 a0， 1 2 解得 a0 时，f(x) . 1 2 log x (1)求函数 f(x)的解析式； (2)解不等式 f(x21)2. 解 (1)当 x0， 则 f(x) 1 2 log ()x 因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(x)f(x) 所以 x2 可化为 f(|x21|)f(4) 又因为函数 f(x)在(0，)上是减函数， 所以 02，所以f(2) Bf(a1)f(2) 14已知函数 f(x)ln(x21)，g(x) xm，若对x10,3，x21,2，使得 f(x1) ( 1 2) g(x2)，则实数 m 的取值范围是( ) A. B. 1 4，) (， 1 4 C. D. 1 2，) (， 1 2 答案 A 解析