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训练目标会用空间向量解决立体几何的证明、求空间角、求距离问题.解题策略(1)选择适当的空间直角坐标系;(2)求出相关点的坐标,用坐标表示直线的方向向量及平面的法向量;(3)理解并记住用向量表示的空间角和距离的求解公式;(4)探索性问题,可利用共线关系设变量,引入参数,列方程求解.1.在如图所示的几何体中,EA平面ABC,DB平面ABC,ACBC,且ACBCBD2AE,M是AB的中点(1)求证:CMEM;(2)求CM与平面CDE所成的角2.如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且ABBP2,ADAE1,AEAB,且AEBP.(1)设点M为棱PD的中点,求证:EM平面ABCD;(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由3.如图,在五面体ABCDEF中,ABCDEF,CDEFCF2AB2AD2,DCF60,ADCD,平面CDEF平面ABCD.(1)证明:直线CE平面ADF;(2)已知P为棱BC上的点,试确定P点位置,使二面角PDFA的大小为60.4.如图,ABC和梯形ACEF所在的平面互相垂直,ABBC,AFAC,AF綊2CE,G是线段BF上一点,ABAFBC2.(1)当GBGF时,求证:EG平面ABC;(2)求二面角EBFA的正弦值;(3)是否存在点G满足BF平面AEG?并说明理由答案精析1(1)证明如图,因为ACBC,所以以点C为坐标原点,以CA,CB所在直线分别为x轴,y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系设EAa,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a),D(0,2a,2a),M(a,a,0)所以(a,a,a),(a,a,0),因为0,所以EMCM.(2)解设向量n(1,y0,z0)与平面CDE垂直,则n,n,即n0,n0.因为(2a,0,a),(0,2a,2a),所以y02,z02,即n(1,2,2),cosn,因为直线CM与平面CDE所成的角是n与夹角的余角,所以45,因此直线CM与平面CDE所成的角是45.2(1)证明因为平面ABCD平面ABPE,且BCAB,平面ABCD平面ABPEAB,BC平面ABCD,所以BC平面ABPE,所以BCAB,BCBP,又AEAB且AEBP,BPAB,所以BA,BP,BC两两垂直以B为原点,BA,BP,BC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,2,0),D(2,0,1),M,E(2,1,0),C(0,0,1),所以.平面ABCD的一个法向量为n(0,1,0),所以n(0,1,0)0,所以n.又EM 平面ABCD,所以EM平面ABCD.(2)解当点N与点D重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.理由如下:因为(2,2,1),(2,0,0),设平面PCD的法向量为n1(x1,y1,z1),由得取y11,得平面PCD的一个法向量为n1(0,1,2)假设线段PD上存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.设(01),则(2,2,1)(2,2,),(2,22,)所以sin |cos,n1|.所以92845,解得1或(舍去)因此,线段PD上存在一点N,当N点与D点重合时,直线BN与平面PCD所成角的正弦值为.3(1)证明CDEF,CDEFCF2,四边形CDEF为菱形,CEDF,平面CDEF平面ABCD,平面CDEF平面ABCDCD,ADCD,AD平面ABCD,AD平面CDEF,CEAD,又ADDFD,直线CE平面ADF.(2)解DCF60,DEF为正三角形,取EF的中点G,连接GD,则GDEF,GDCD,平面CDEF平面ABCD,GD平面CDEF,平面CDEF平面ABCDCD,GD平面ABCD,ADCD,DA,DC,DG两两垂直,以点D为原点,DA,DC,DG所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,CDEFCF2,ABAD1,E(0,1,),F(0,1,),C(0,2,0),B(1,1,0)由(1)知(0,3,)是平面ADF的法向量,(0,1,),(1,1,0),设a(a,a,0)(0a1),则(a,2a,0),设平面PDF的法向量为n(x,y,z),n0,n0,令ya,则x(a2),za,n(a2),a,a),二面角PDFA为60,|cosn,|,解得a,点P在靠近B点的三等分点处4(1)证明取AB的中点D,连接GD,CD,又GBGF,所以AF2GD且AFCD.因为AFCE且AF2CE,所以GDCE且GDCE,四边形GDCE是平行四边形,所以CDEG,因为EG平面ABC,CD平面ABC,所以EG平面ABC.(2)解因为平面ABC平面ACEF,平面ABC平面ACEFAC,且AFAC,AF平面ACEF,所以AF平面ABC,所以AFAB,AFBC.因为BCAB,AFABA,AF,AB平面ABF,所以BC平面ABF.如图,以A为原点,AB,AF所在直线分别为x轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz.则F(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),E(2,2,1),(0,2,1),(2,0,2),(0,2,0)是平面ABF的一个法向量设平面BEF的法向量为n(x,y,z),则即令y1,则z2,x2,所以n(2,1,2),所以cosn,故二面角EBFA的正弦值为.(3)解因为(2,0,2)(2,2,1)20,所以BF与AE不垂直,所以不存在点G满足BF平面AEG.
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