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训练目标了解圆锥曲线的简单应用,掌握直线与椭圆、直线与抛物线解题的通法.解题策略(1)从直线与圆锥曲线通法入手,利用设而不求的思想,有效解决圆锥曲线解答题;(2)总结解题中的规律技巧如弦长问题、中点弦问题的求法以及计算技巧,提高解题速度.1已知圆C过定点F,且与直线x相切,圆心C的轨迹为E,曲线E与直线l:yk(x1)(kR)相交于A,B两点(1)求曲线E的方程;(2)当OAB的面积等于时,求k的值2已知抛物线C:y22px(p0)过点A(1,2)(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程;(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点,且直线OA与l的距离等于?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由3.(2018届浙江省温州市一模)已知抛物线C:y22px(p0),焦点为F,直线l交抛物线C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,D(x0,y0)为AB的中点,且|AF|BF|12x0.(1)求抛物线C的方程;(2)若x1x2y1y21,求的最小值4.如图,已知椭圆E:1的离心率为e,P为椭圆E上的动点,P到点M的距离的最大值为,直线l交椭圆于A,B两点(1)求椭圆E的方程;(2)若以P为圆心的圆的半径为,且圆P与OA,OB相切是否存在常数,使x1x2y1y20恒成立?若存在,求出常数;若不存在,说明理由;求OAB的面积答案精析1解(1)由题意,点C到定点F和直线x的距离相等,故点C的轨迹E的方程为y2x.(2)由方程组消去x后,整理得ky2yk0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得y1y2,y1y21.设直线l与x轴交于点N,则N(1,0)SOABSOANSOBN|ON|y1|ON|y2|ON|y1y2|1 .SOAB, ,解得k.2解(1)将(1,2)代入y22px,得(2)22p1,所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x,其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点,所以48t0,解得t.又由直线OA与l的距离d,可得,解得t1.因为1,1,所以符合题意的直线l存在,其方程为2xy10.3解(1)根据抛物线的定义知|AF|BF|x1x2p,x1x22x0,|AF|BF|12x0,p1,y22x.(2)设直线l的方程为xmyb,代入抛物线方程,得y22my2b0,x1x2y1y21,即y1y21,y1y22,即y1y22b2,b1,4m280,y1y22m,y1y22,|AB|y1y2|2,x0(y1y2)22y1y2m21,令tm21,t1,),则.即的最小值为.4解(1)由,a2b2c2,得a2b,cb.椭圆的标准方程为y2b2,设P(x,y),byb.P到点M(0,2)的距离d,当0b,yb时,d取得最大值,b2,解得b2,舍去当b,y时,d取得最大值, ,解得b1,满足条件椭圆E的方程为y21.(2)设P(m,n),则n21.P的方程为(xm)2(yn)2,设经过原点O的P的切线方程为ykx,不妨设OA的方程为yk1x,OB的方程为yk2x.则,化为(5m24)k210mnk5n240,k1k2,k1k2,假设存在常数,使x1x2y1y20恒成立,则,k1k2 ,故4为常数当l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxb,联立消去y,得x28kbx4b240,x1x2,x1x2,y1y2,由知,x1x24y1y20,化简可得14k22b2,O到l的距离为d,SAOBd1,当l的斜率不存在时,l的方程为x,SAOB1.
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