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三)数列中的高考热点问题(对应学生用书第90页)命题解读数列在中学数学中既具有独立性,又具有较强的综合性,是初等数学与高等数学的一个重要衔接点,从近五年全国卷高考试题来看,本专题的热点题型有:一是等差、等比数列的综合问题;二是数列的通项与求和;三是数列与函数、不等式的交汇,难度中等等差、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题,关键是理清两种数列的项之间的关系,并注重方程思想的应用,等差(比)数列共涉及五个量a1,an,Sn,d(q),n,“知三求二”已知等差数列an,公差d2,S1,S2,S4成等比数列(1)求an;(2)令bn(1)n,求bn的前n项和Tn.解(1)S1,S2,S4成等比数列SS1S4,(2a12)2a1解得a11,an12(n1)2n1.(2)bn(1)n(1)n(1)n.当n为偶数时,bn的前n项和Tn1,当n为奇数时,bn的前n项和Tn1.故Tn 规律方法1.若an是等差数列,则ban(b0,且b1)是等比数列;若an是正项等比数列,则logban(b0,且b1)是等差数列.2.对等差、等比数列的综合问题,应重点分析等差、等比数列项之间的关系,以便实现等差、等比数列之间的相互转化.跟踪训练已知数列an的前n项和为Sn,常数0,且a1anS1Sn对一切正整数n都成立(1)求数列an的通项公式;(2)设a10,100.当n为何值时,数列的前n项和最大?解(1)取n1,得a2S12a1,a1(a12)0.若a10,则Sn0.当n2时,anSnSn1000,所以an0(n1)若a10,则a1.当n2时,2anSn,2an1Sn1,两式相减得2an2an1an,所以an2an1(n2),从而数列an是等比数列,所以ana12n12n1.综上,当a10时,an0;当a10时,an.(2)当a10,且100时,令bnlg,由(1)知,bnlg2nlg 2.所以数列bn是单调递减的等差数列,公差为lg 2.b1b2b6lglglg 10,当n7时,bnb7lglg,所以Tn.综上可得,对任意的nN,均有Tn.
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