第二讲平面向量的数量积及应用考点1平面向量的数量积1.若向量a,b满足|a|=10,b=(-2,1),ab=5,则a与b的夹角为()A.90B.60C.45D.302.已知向量a和向量b的夹角为30,|a|=2,|b|=3,则向量a和向量b的数量积ab=()A.1B.2C.3D.43.已知ABC是边长为1的等边三角形,则(AB-2BC)(3BC+4CA)=()A.-132B.-112 C.-6-32D.-6+324.已知两个非零向量a与b的夹角为,则“ab0”是“为锐角”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.2018郑州一中高三入学测试已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为60,则|a+3b|等于()A.7B.10C.13D.46.已知|a|=3,|b|=5,如果ab,则ab=.考点2数量积的性质和运算律7.已知向量a=(-1,2),b=(3,-6),若向量c满足c与b的夹角为120,c(4a+b)=5,则|c|=()A.1B.5C.2D.258.已知|a|=1,b=(-1,1)且a(a+b),则向量a与向量b的夹角为()A.3B.2C.23D.349.下列给出的关系式中正确的个数为()0a=0;ab=ba;a2=|a|2;|ab|ab;(ab)2=a2b2.A.1B.2C.3D.410.(1)已知向量a,b满足(a+2b)(5a-4b)=0,且|a|=|b|=1,则a与b的夹角为()A.34B.4C.3D.23(2)已知平面向量a,b的夹角为6,且|a|=3,|b|=2,在ABC中,AB=2a+2b,AC=2a-6b,D为BC中点,则|AD|等于()A.2B.4C.6D.8(3)已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量a+b与a-2b垂直,则实数的值为()A.-17B.17C.-16D.16考点3平面向量数量积的坐标表示11.向量a=(2,4),b=(5,3),则a(a-b)=()A.-10B.14C.(-6,4)D.-212.2018湖北省部分重点中学高三起点考试已知向量a=(3,4),b=(x,1),若(a-b)a,则实数x等于13.2018长郡中学实验班选拔考试设a=(34,m),b=(m,14),且ab=1,则|b|=14.已知向量a=(1,3),b=(3,m),且b在a上的投影为3,则向量a与b的夹角为考点4平面向量应用举例15.在边长为2的菱形ABCD中,BAD=60,P,Q分别是BC,BD的中点,如图,则向量AP与AQ的夹角的余弦值为16.若力F1,F2,F3达到平衡,且F1,F2大小均为1,夹角为60,则F3的大小为答案1.Cb=(-2,1),|b|=(-2)2+12=5,|a|=10,ab=5, cos=ab|a|b|=5105=22.又0,a与b的夹角为45.故选C.2.C由题意可得ab=|a|b|cos=23cos 30=3,故选C.3.B(AB-2BC)(3BC+4CA)=3ABBC-6BC2+4ABCA-8BCCA=3|AB|BC|cos 120-6|BC|2+4|AB|CA|cos 120-8|BC|CA|cos 120=311(-12)-612+411(-12)-811(-12)=-32-6-2+4=-112,故选B.4.B由ab0,可得到0,2),不能得到(0,2);而由(0,2),可以得到ab0.故选B.5.C依题意得ab=12,|a+3b|=a2+9b2+6ab=13,故选C.6.15或-15当a,b的夹角为0时,ab=15;当a,b的夹角为180时,ab=-15.7. D依题意可得|a|=5,|b|=35,ab.由c(4a+b)=5,可得4ac+bc=5.由c与b的夹角为120,可得c与a的夹角为60,则有bc=|b|c|cos 120=|c|35(-12)=-352|c|,ac=|a|c|cos 60=|c|512=52|c|,所以452|c|-352|c|=5,解得|c|=25,故选D.8. D设向量a与向量b的夹角为,因为a(a+b),所以a(a+b)=0,即|a|2+ab=1+|a|b|cos =1+2cos =0,cos =-22,=34,故选D.9.C显然正确.对于,|ab|=|a|b|cos |(为a,b的夹角),ab=|a|b|cos ,故ab|ab|,故错误.对于,(ab)2=(|a|b|cos )2=a2b2cos2a2b2(为a,b的夹角),故错误.故选C.10.(1)C因为(a+2b)(5a-4b)=0,|a|=|b|=1,所以6ab-8+5=0,即ab=12.又ab=|a|b|cos =cos ,所以cos =12.因为0,所以=3.故选C.(2)A因为AD=12(AB+AC)=12(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以|AD|2=4(a-b)2=4(a2-2ba+b2)=4(3-223cos6+4)=4,则|AD|=2.故选A.(3)A由条件得a+b=(-3-1,2),a-2b=(-1,2),因为向量a+b与a-2b垂直,所以(-3-1,2)(-1,2)=0,即3+1+4=0,解得=-17.故选A.11.Da-b=(-3,1),a(a-b)=-6+4=-2.故选D.12.7(a-b)a,(a-b)a=0,即a2=ab,25=3x+4x=7.13. 174 依题意得3m4+m4=m=1,|b|=m2+116=174.14.6因为ab=3+3m,|a|=1+3=2,|b|=9+m2,由|b|cos=3,可得|b|ab|a|b|=3,故3+3m2=3,解得m=3,故|b|=9+3=23,故cos=323=32,故=6,即向量a与b的夹角为6.15.32114以A为原点,AB所在直线为x轴建立如图所示的直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(3,3),D(1,3),所以P(52,32),Q(32,32),所以AP=(52,32),AQ=(32,32),所以cos=APAQ|AP|AQ|=154+3473=32114.16.3F3=-(F1+F2),故F32=(F1+F2)2=F12+F22+2F1F2=1+1+212=3,故F3的大小为3.