1,第二节 微积分基本定理,用定义求定积分实际上是行不通的,下面介绍计算定积分的新方法.,定理1,则变上限积分,一、原函数存在定理,2,证,3,由积分中值定理得,4,证,同上可证,同上可证,证毕.,5,原函数存在定理,该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.,原函数.,6,证,变限积分函数的求导：,7,更一般地，,由,即可得结论.,8,例1 求下列变限积分函数的导数.,9,例2,10,例3 求下列极限.,分析：这是 型未定式，应用罗必塔法则.,解,11,例3 求下列极限.,分析：这是 型未定式，,解,等价无穷小替换,12,例3 求下列极限.,分析：这是 型未定式，,解,13,证,例4,14,证,例5,15,16,由积分中值定理，,或证,例5,17,证,令,由零点定理可知，,另一方面，,例6,18,解,例7,19,定理2 (微积分基本公式),证,二、牛顿-莱布尼茨公式,20,所以,牛顿-莱布尼茨公式,21,注意,上述公式通常称为微积分基本公式,它揭示了定积分与不定积分之间的关系,给定积分的计算提供了一种简便而有效的方法.,22,例8 求,原式,解,例9 求,原式,解,23,例10,计算,解,原式,24,例11 求,原式,解,25,解,例11,26,例12,设 f (x)是连续函数, 且,两边在0, 1上积分,求 f (x) .,即,解,27,练习：,P208 习题六,