5.4 平面向量的综合应用平面向量的综合应用 最新考纲考情考向分析 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何 问题 2.会用向量方法解决简单的力学问题及其 他一些实际问题. 主要考查平面向量与函数、三角函数、不等 式、数列、解析几何等综合性问题，求参数 范围、最值等问题是考查的热点，一般以选 择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解 答题中，属于中档题. 1向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型所用知识公式表示 线平行、点共线等问题共线向量定理 ababx1y2x2y10，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0 垂直问题数量积的运算性质 abab0x1x2y1y20，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)，且 a，b 为 非零向量 夹角问题数量积的定义 cos ( 为向量 a，b 的夹角)， ab |a|b| 其中 a，b 为非零向量 长度问题数量积的定义 |a|，其中 a(x，y)， a2x2y2 a 为非零向量 (2)用向量方法解决平面几何问题的步骤： 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 设向量 运算 还原 2向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量 的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的 主体 3向量与相关知识的交汇 平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数 量积，向量的共线与垂直求解相关问题 知识拓展 1若 G 是ABC 的重心，则0. GA GB GC 2若直线 l 的方程为 AxByC0，则向量(A，B)与直线 l 垂直，向量(B，A)与直线 l 平行 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)若，则 A，B，C 三点共线( ) AB AC (2)在ABC 中，若0)，则其准线方程为 x . p 2 曲线 E 的方程可化为(x3)2(y2)216， 则有 3 4，解得 p2，所以抛物线 M 的方程为 y24x，F(1,0)设 A，则 p 2 ( y2 0 4 ，y0) OA ，所以y 4，解得 y02.所以点 A 的坐 ( y2 0 4 ，y0) AF (1 y2 0 4 ，y0) OA AF y2 0 4(1 y2 0 4)2 0 标为(1,2)或(1，2). 题型一题型一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用 典例 (1)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若1， AC BE 则 AB_. 答案 1 2 解析 在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则， BE FD BE FD AD 1 2AB 又， AC AD AB () AC BE AD AB (AD 1 2AB ) 2 2 AD 1 2AD AB AD AB 1 2AB |2 |cos 60 |2 AD 1 2 AD AB 1 2 AB 1 | |21. 1 2 1 2 AB 1 2 AB |0，又|0，| . ( 1 2|AB |)AB AB AB 1 2 (2)已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP ()，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过ABC 的( ) OA AB AC A内心 B外心 C重心 D垂心 答案 C 解析 由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知 OP OA AB AC AP AB AC 是ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中点)所对应向量的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过 AB AC AD ABC 的重心 引申探究 本例(2)中，若动点 P 满足，(0，)，则点 P 的轨迹一定通过 OP OA ( AB |AB | AC |AC |) ABC 的_ 答案 内心 解析 由条件，得，即，而和分别表示平行 OP OA ( AB |AB | AC |AC |)AP ( AB |AB | AC |AC |) AB |AB | AC |AC | 于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点 P 的轨迹必过 AB AC AB |AB | AC |AC |AP ABC 的内心 思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的 代数运算和向量运算，从而使问题得到解决 (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求 解 跟踪训练 (1)在ABC 中，已知向量与满足0，且 ，则 AB AC ( AB |AB | AC |AC |)BC AB |AB | AC |AC | 1 2 ABC 为( ) A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形 答案 A 解析 ，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为 AB |AB | AC |AC |AB AC AB |AB | AC |AC | BAC 的平分线因为0，所以BAC 的平分线垂直于 BC，所以 ABAC. ( AB |AB | AC |AC |)BC 又cosBAC ，所以 cosBAC ，又 00. 所以 cos B，又 B(0，)，所以 B . 2 2 4 (2)因为|，所以|. BA BC 6 CA 6 即 b，根据余弦定理及基本不等式，得 6 6a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当 ac 时取等号)，即 ac3(2)， 2222 故ABC 的面积 S acsin B， 1 2 3 21 2 即ABC 的面积的最大值为. 3 23 2 13已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个动点，若动点 P 满足 OP ， (0，)，则( ) OA ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C) A动点 P 的轨迹一定通过ABC 的重心 B动点 P 的轨迹一定通过ABC 的内心 C动点 P 的轨迹一定通过ABC 的外心 D动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心 答案 D 解析 由条件，得， AP ( AB |AB |cos B AC |AC |cos C) 从而 AP BC ( AB BC |AB |cos B AC BC |AC |cos C) 0， |AB |BC |cos180B |AB |cos B |AC |BC |cos C |AC |cos C 所以，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的垂心 AP BC 14(2018北京市丰台区二模)已知 O 为ABC 的外心，且. BO BA BC (1)若C90，则 _； (2)若ABC60，则 的最大值为_ 答案 (1) (2) 1 2 2 3 解析 (1)若C90，则 O 为 AB 边的中点， ，即 ，0，故 . BO 1 2BA 1 2 1 2 (2)设ABC 的三边长分别为 a，b，c，因为 O 为ABC 的外心，且， BO BA BC 所以Error!Error! 即Error!Error! 化简得Error!Error!解得Error!Error! 则 . 4 3 ( a 3c c 3a) 4 3 2 3 2 3 15(2018西安一模)已知共面向量 a，b，c 满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个 确定的向量 b，记|bta|(tR)的最小值为 dmin，则当 b 变化时，dmin的最大值为( ) A. B2 4 3 C4 D6 答案 B 解析 固定向量 a(3,0)，则 b，c 向量分别在以(3,0)为圆心，r 为半径的圆上的直径两端运 动，其中，a，b，c，如图，易得点 B 的坐标 OA OB OC B(rcos 3，rsin )， 因为|b|bc|， 所以 OBBC，即(rcos 3)2r2sin24r2， 整理为 r22rcos 30，可得 cos ， r23 2r 而|bta|(tR)的最小值为 dmin， 即 dminrsin 2， r410r29 4 4r252 4 所以 dmin的最大值是 2，故选 B. 16(2018宁德质检)已知在ABC 中，ABAC，BAC90，边 AB，AC 的长分别为方程 x22(1)x40 的两个实数根，若斜边 BC 上有异于端点的 E，F 两点，且 33 EF1，EAF，则 tan 的取值范围为( ) A. B. ( 3 3 ，4 3 11 ( 3 9 ， 3 3) C. D. ( 3 9 ，4 3 11 ( 3 9 ，2 3 11 答案 C 解析 由题意可知 AB2，AC2， 3 BC4. AB2AC2 建立如图所示的坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)，C(0,2) 3 设， BF BC ( (0， 3 4) ， BE ( 1 4)BC 则 F(22，2)，E. 3 ( 3 22，2 3 3 2) 所以(22，2) AE AF 3 ( 3 22，2 3 3 2) 343421223 16243 16 2 . ( 1 8) 11 4 11 4 ，9) 因为点 A 到 BC 边的距离 d， |AB|AC| |BC|3 所以AEF 的面积 SAEF |EF|为定值 1 23 3 2 所以 tan ， S AEF AE AF 1 2|AE |AF |sin |AE |AF |cos 1 2 故 tan ，故选 C. 2S AEF AE AF 3 AE AF ( 3 9 ，4 3 11