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第19讲 等腰三角形,1了解等腰三角形的概念、等腰三角形的性质定理;底边上的高、中线及顶角平分线重合 2掌握等腰三角形的判定定理,等边三角形的性质定理,以及等边三角形的判定定理 3掌握线段垂直平分线的性质及判定,角平分线的性质及判定 4能利用等腰三角形的特性来解决一些简单的实际问题,1等腰三角形的概念、性质、判定,在选择题、填空题、解答题中均有出现 2等腰三角形、正三角形是最常见的图形之一,可单独成题,也常与平行四边形、圆、三角函数等渗透在综合题中 3主要体现数形结合、化归、分类的思想,1(2016枣庄)如图,在ABC中,ABAC,A30,E为BC延长线上一点,ABC与ACE的平分线相交于点D,则D等于( ) A15 B17.5 C20 D22.5 【解析】在ABC中,ABAC,ABCACB75,所以ACE180ACB18075105,D180DBCBCD18037.5127.515,故选A.,A,3(2016泰安)如图,在PAB中,PAPB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AMBK,BNAK,若MKN44,求P的度数,等腰三角形的边、角,1(2017预测)已知一个等腰三角形的两边长分别为2和4,则该等腰三角形的周长是_ 【解析】根据任意两边之和大于第三边,知道等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,即可求得周长 因为224,所以等腰三角形的腰的长度是4,底边长2,周长为44210.,10,2如图,在ABC中,ABAC,点D在BC上,且BDAD,DCAC.求B的度数 解析:第1题由于未说明两边哪个是腰,哪个是底,故需分两种情况讨论:(1)当等腰三角形的腰为2;(2)当等腰三角形的腰为4,从而得到其周长;第2题设B为x,分别表示出ADC,CAD,依据三角形内角和定理列出方程求解 解:ABAC,BC.同理:BBAD,CADCDA.设B为x,则Cx,BADx,ADC2x,CAD2x.在ADC中,CCADADC180,x2x2x180,x36,B36,1等腰三角形是两边相等的特殊三角形,以顶角平分线所在的直线为对称轴 2等腰三角形两_相等,简称为“等边对等角”,答案:2.底角,3(原创题)如图,RtABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合,ABC40,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是( ) A40 B70 C70或80 D80或140 【解析】点O是AB中点,连结DO.点D在量角器上对应的度数DOB2BCD,当射线CD将ABC分割出以BC为边的等腰三角形时,BCD40或70,点D在量角器上对应的度数DOB2BCD80或140,故选D.,D,4(2017预测)如图,ABC中,ABAC,BC12 cm,点D在AC上,DC4 cm,将线段DC沿BC方向平移7 cm得到线段EF,点E,F分别落在AB,BC上,则EBF的周长是_ cm. 【解析】CD沿CB平移7 cm至EF,EFCD,CF7,BFBCCF5,EFCD4,EFBC,ABAC,BC,EBEF4,CEBFEBEFBF44513.,13,5已知等腰三角形的周长为10,若设腰长为x,则x的取值范围是_ 【解析】等腰三角形周长为10,腰长为x,则2x5且2x10,即2.5x5.,2.5x5,1把“等边对等角”这一性质用在不同的等腰三角形中,必要时需利用方程思想转化为方程来解题 2. 等腰三角形中,边若没有指出是腰还是底边,应分情况讨论,但一定要利用“三边之间的关系”来检验解的合理性,等腰三角形的性质与判定,6如图,在ABC中,ABAC,BDBC,等边BEF的顶点F在BC上,边EF交AD于点P,若BE10,BC14,求PE的长 解析:利用等腰三角形的性质,有ADBC,在DPF中先求出PF的值 解:4,7如图,已知ABC90,D是直线AB上的点,ADBC. (1)如图1,过点A作AFAB,并截取AFBD,连结DC,DF,CF,判断CDF的形状并证明; (2)如图2,E是直线BC上一点,且CEBD,直线AE,CD相交于点P,APD的度数是一个固定的值吗?若是,请求出它的度数;若不是,请说明理由,解析:7(1)证明AFD和BDC全等,再利用全等三角形的性质,即可判断三角形的形状;(2)作AFAB于A,使AFBD,连结DF,CF,利用SAS证明AFD和BDC全等,再利用全等三角形的性质得得出APD度数,1等腰三角形的判定:如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”) 2等腰三角形_、_和_互相重合(简称为“三线合一”),答案:2.底边上的高;顶角平分线;底边的中线,8(2016常州)如图,ABC中,ABAC,BD,CE是高,BD与CE相交于点O. (1)求证:OBOC; (2)若ABC50,求BOC的度数,解:(1)ABAC,ABCACB,BD,CE是ABC的两条高线,ABCECB90,ACBDBC90,DBCECB,OBOC (2)ABC50,ABAC,A18025080,BOC18080100,9如图,已知ABC为等腰直角三角形,BAC90,BE是ABC的平分线,DEBC,垂足为D. (1)写出图中所有的等腰三角形,不需证明; (2)请你判断AD与BE是否垂直,并说明理由; (3)如果BC12,求ABAE的长,解:(1)ABD,EAD,CDE,ABC (2)BAEBDE,ABEDBE,BEBE,ABEDBE,ABDB,又ABEDBE,ADBE (3)CDEC45,CDDE,AEDEDC,ABAEBDDCBC12,1要证明一个三角形为等腰三角形,需证明这个三角形的两条边相等或两个角相等,这样往往就转化为证明两个三角形全等 2等腰三角形的底边上的中线、底边上的高、顶角平分线“三线合一”,这个性质应用广泛,在遇到等腰三角形的问题时,尝试作辅助线,一是可以把这些线段进行转化,二是构造了全等的三角形,等边三角形,10(2017预测)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60得到线段AQ,连结BQ.若PA6,PB8,PC10,求四边形APBQ的面积 【解析】连结PQ,则可判断APQ为等边三角形,所以PQAP6,证明APCAQB得到PCQB10,说明PBQ为直角三角形后,利用S四边形APBQSBPQSAPQ求得结果,1等边三角形性质: (1)等边三角形三条边都_,三个内角都_,且每个内角都等于_; (2)等边三角形有_条对称轴 2等边三角形的判定: (1)三边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60的等腰三角形是等边三角形,答案:1.(1)相等;相等;60;(2)三条,11(2016青岛)如图,以边长为20 cm的正三角形纸板的各顶点为端点,在各边上分别截取4 cm长的六条线段,过截得的六个端点作所在边的垂线,形成三个有两个直角的四边形把它们沿图中虚线剪掉,用剩下的纸板折成一个底为正三角形的无盖柱形盒子,求它的容积,等边三角形是一种特殊的等腰三角形,利用等边三角形的轴对称性,构造含有30的直角三角形,来计算解题,线段的垂直平分线,12(2017预测)如图,线段AC的垂直平分线交线段AB于点D,A50,则BDC( ) A50 B100 C120 D130 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DADC,根据等腰三角形的性质得到DCAA,根据三角形的外角的性质计算即可 DE是线段AC的垂直平分线,DADC,DCAA50,BDCDCAA100,故选B.,B,1经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线(中垂线) 2垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,13如图,在等腰ABC中,ABAC,DBC15,AB的垂直平分线MN交AC于点D,则A的度数是_ 【解析】ADBA,又ABAC,ABCACB,A2(DBA15)180,即3A30180,A50.,50,14直线CP是经过等腰直角三角形ABC的直角顶点C,并且在三角形的外侧所作的直线,点A关于直线CP的对称点为E,连结BE,CE,其中BE交直线CP于点F. (1)若PCA25,求CBF的度数; (2)连结AF,设AC与BE的交点为点M,请判断AFM的形状; (3)求证:EF2BF22BC 2.,解:(1)由题意可知直线CP是线段AE的中垂线,PCA25,PCE25,BCE140,CACB,CECB,CBF20 (2)AFM是直角三角形直线CP是线段AE的中垂线,FAFE,CECA,CFCF,ECFACF,CEMCAF,CEMCBM,CAFCBM.在AFM与BCM中,CAFCBM,AMFBMC,AFMBCM90,即AFM是以AM为斜边的直角三角形 (3)AFM是以AM为斜边的直角三角形,ABC是等腰直角三角形,AFBACB90,AF2BF2AB2,即EF2BF22BC2,根据垂直平分线的性质,点到线段两个端点的距离相等,就能转化为等腰三角形问题,
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