3.1.1数系的扩充和复数的概念（人教版）华南师范大学 陈栩林 （仅供参考） 一、教学内容 数系的三次扩充过程，复数的引入过程，复数概念的知识二、教学目标知识与技能1、 了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、 掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、 通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、 通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、 体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、 体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法三、教学重点引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件四、教学难点虚数单位i的引进和复数的概念五、学生分析学生在本章之前已经学习了推理与证明的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课运用类比思想对实数集进行扩充。六、教学方法及教学用具启发引导、类比探究并运用多媒体课件展示相关知识七、教学过程（一）问题引入问题：若，求（1）x+y的值； （2）求x和y的值生（独立完成）：求出x+y=3或-3师：既然和能够求出来，那能不能求出x和y的值呢？生：，由于的存在，我们求不了x、y的值师：事实上在实数范围内x和y确实不存在？为什么会这样呢？假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢？我们能不能解决这个问题呢？这就是我们今天要学习的内容数系的扩充和复数的引入（二）回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。大家记得吗？从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。原因1原因2规律自然数（N）计数1、实际需要、运算矛盾2、引入新数解决问题，运算保持，运算律不变整数（Z）具有相反意义的量减法在N不能完全运算有理数（Q）测量，分配除法在Z不能完全运算实数（R）单位正方形对角线长开平方在Q不能完全运算（三）类比，引入新数，将实数集扩充1、 类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数 师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢？ （引导学生找到，因为任何一个负数都可以写成正数与-1的乘积）2、 历史重现：在历史上数学家们碰到我们前面这个问题的时候一开始是解决不了的，导致在此问题上徘徊了百年之久，直到18世纪末，数学家才认识到解决的重要性，于是他们就像我们一样引入新的数，使得引入的数的平方等于，并把这个数记为英文字母，就是虚构、想象的意思。3、探究复数的一般形式： 首先，我们有：（1） （2）与实数可以做运算、并且运算律不变 师：我们不妨把添加到实数集里面成为一个新的集合A，根据的性质，我们拿两个实数a和b与任意的做加法、乘法运算，可以得到哪些数呢？生：。（引导学生观察得到以上这些数都可以看成）师：那我们原来的实数和能不能也看成这种形式？生：能。可以写成和师总结：所有形式的都应该在新的数集里面，并且新的数集里面的数都可以写成这种形式，我们不妨把这种形式写成，这就是我们把实数集进行扩充后得到的数所具有的一般形式。（四）新的数集复数集1、形如的数叫做复数，用字母z表示，其中叫做复数的实部，叫做复数的虚部，称为虚数单位，所有复数所成的集合叫做复数集，记为C，即。那么，我们现在就把实数集扩充到了复数集了，而负数也就可以开平方了，至此，我们有NZQRC 判断：是复数吗，它的实部是什么？虚部是什么？ 总结：实部和虚部都是实数；通常把一个复数化简到才可以进行判断。2、复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。（五）复数的分类师：既然实数集是复数集的真子集，那么复数在什么条件下退化为实数呢？（引出复数的分类） 例1.实数m分别取什么值时，复数zm+1(m-1)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 分析：因为mR，所以m+1，m-1都是实数，由复数zabi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数m的值总结：前提是m为实数，否则必须化成的形式（六）复数相等的充要条件问1：什么时候等于0？（，由此得出两个复数相等的充要条件）问2：如何根据第一问推导出两个复数相等的充要条件？总结：例2 已知,其中，x,yR，求x与y分析：因为x，yR，所以由两个复数相等的定义，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值 总结：复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。（七） 课堂小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢？能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢？别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。（八）课后作业1、习题3.1 A组第1、2题2、课后探究复数能不能比较大小，为什么？（可查资料）