2012年温州中学自主招生数学试题（本试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置1.使都有意义的实数组（ ）A存在且有无限多组 B存在有限组 C一定不存在 D无法确定是否存在2. 如图所示，直线，表示三条相交的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有A1处 B2处 C3处 D4处3. 下列函数中和函数的图像关于轴对称的（ ）A. B. C. D.4. 小明、小联、小豪人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏。每一局三人同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势。则小明只赢一人的概率为（ ）A. B. C. D. 5. 若，则的大小关系是（ ）A. B.C. D.6. 三角形三条高线之比为，则这三角形是（ ）A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D形状不能确定7. 对于满足的所有实数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）A B或 C或 D或 8. 定义函数，其中表示不超过的最大整数，如：。当时，记为函数的所有可能取值的个数。则（ ）A45 B46 C55 D669. 十进制中，四位数能满足下列条件的就叫做“和谐平方数”：（1）它的数字都不为零；（2）它是一个完全平方数；（3）这个数的前两位数字，后两位数字都是完全平方数（看做两位数时）问这样的“和谐平方数”的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.410. 如图，已知的平分线分别与边、的外接圆交于点、，过任作一条与直线不重合的直线，直线分别与直线、交于点、，下列判断错误的是（ ）A无论直线的位置如何，总有直线与的外接圆相切B无论直线的位置如何，总有C直线选取适当的位置，可使、四点共圆D直线选取适当的位置，可使二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在答题卷的相应位置11. 不等式的解为_.或12. 某圆柱被一平面所截得到的几何体如图（1）所示，若该几何体的正视图是等腰直角三角形，俯视图是圆（如右图），则它的侧视图是（）13. 已知正实数满足方程组，则该方程组的所有实数解为 14. 已知正方形的边长为，对角线交于点，为的中点，与交于点，交于点，则四边形的内切圆的半径等于 15. 若抛物线与轴、轴交于三个不同的点，当实数变化时，的外接圆一定经过定点，此定点的坐标为_ _。16. 我们把22的方格表称为一个“宫”，如图所示，将4个“宫”拼成一个44的方格表（称为“四宫格”）。现将1,2,3,4四个数字填入“四宫格”中，使得这4个数字在每行、每列、每“宫”（共4个）的四个格子中均出现一次。现已知四宫格左上角的方格内已经填有数字1，则满足条件的填法共有 种。722012年温州中学自主招生数学试题答 题 卷一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号12345678910答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11 ； 12 ； 13 ；14 ； 15 ； 16 ；三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）已知，求证：18.（本题满分14分）如图，已知双曲线、抛物线，直线.（）若直线与抛物线有公共点，求的最小值；（）设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为.是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由。19.（本题满分16分）现有一方格盘的跳棋，即在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定每一步可将某枚棋子跳过邻格中的棋子而进入随后的空格中，同时将被其他棋子跳过的棋子从棋盘上拿走。（1） 当棋盘上最初只有摆放成“7”字型的4枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？（2） 当棋盘上最初只有摆放成20122012矩形的枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？20.（本题满分16分）如图，为半圆的直径，为半圆内的一点，直线交半圆于点，直线交半圆于点，直线与直线交于点，为直径上的一点，且满足，求证：2011年温州中学自主招生数学试题答 题 卷二、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分题号12345678910答案CBCDCDDBAC二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11 1 ； 12 ； 13 3 ；14 8 ； 15 6 ； 16 55或77 ；三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本题满分10分）已知，求证：证明：原不等式等价于18.（本题满分14分）如图，已知双曲线、抛物线，直线.（）若直线与抛物线有公共点，求的最小值；（）设直线与双曲线的两个交点为，与抛物线的两个交点为.是否存在直线，使得为线段的三等分点？若存在，求出直线的解析式，若不存在，请说明理由。解：（）直线与抛物线有公共点，联立，得，的最小值为；（）设，显然联立，得，联立，得，若为线段的三等分点，则线段与的中点重合，且，从而，即，且，即，将代入上式并化简得，解得或，对应的或，经检验均符合题意，直线的解析式为或或.19.（本题满分16分）现有一方格盘的跳棋，即在一个无限大的方格棋盘上有若干枚棋子，规定每一步可将某枚棋子跳过邻格中的棋子而进入随后的空格中，同时将被其他棋子跳过的棋子从棋盘上拿走。（3） 当棋盘上最初只有摆放成“7”字型的4枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？（4） 当棋盘上最初只有摆放成20122012矩形的枚棋子时，最终最少能剩下几枚棋子？解：（1）如图1所示，当棋盘上只有“7”字型的A,B,C,D 4枚棋子时，经过3次操作，最终至少能剩下1枚棋子。即通过若干次操作将排成一排的三个棋子拿走，并使A棋子回到原位。 图1（2）由（1）知，如图2所示，对于任意矩阵，可以通过操作，将其变为矩阵。 图2 图3故可对20122012棋子矩阵进行操作，将其变为22012矩阵。对图3所示24矩阵，可进行如下操作；。使得图3经过操作后剩下位于两枚棋子。故可对22012矩阵进行上述操作，将其变为22的矩阵。显然，最终最少可以只剩一枚棋子。20.（本题满分16分）如图，为半圆的直径，为半圆内的一点，直线交半圆于点，直线交半圆于点，直线与直线交于点，为直径上的一点，且满足，求证：证明：连接由可证得从而所以四点共圆；故所以平分角又因为所以平分角所以为的内心所以所以四点共圆所以，证毕