资源预览内容
第1页 / 共101页
第2页 / 共101页
第3页 / 共101页
第4页 / 共101页
第5页 / 共101页
第6页 / 共101页
第7页 / 共101页
第8页 / 共101页
第9页 / 共101页
第10页 / 共101页
亲,该文档总共101页,到这儿已超出免费预览范围,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第二章 控制系统的数学模型,本章的主要内容,1、什么是控制系统的数学模型,引言,定义:控制系统的数学模型是描述系统内部物 理量(或变量)之间关系的数学表达式。, 如果描述变量之间关系的数学表达式是代数方程,则称其为静态数学模型(变量各阶导数为零); 描述变量各阶导数之间关系的微分方程叫做动态数学模型。,希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。 控制系统的调试和控制器参数的确定,为了使控制系统能安全投运并进行必要的调试,必须对被控对象的特性有充分的了解。 预测控制、前馈动态补偿、计算机仿真等都是在已知对象数学模型的基础上才能进行的。 因此,建立系统的数学模型是分析和设计系统的首要工作。,2、建立数学模型的目的,3、数学模型分类,微分方程( ) 传递函数: 结构图 频率特性,幅频特性:,相频特性:,时域模型,复域模型,频域模型,t,s,微分方程/传递函数/频率特性 三种数学模型之间的关系,4、建立数学模型的方法,分析法:分析机理,根据物理或化学规律列写 运动方程,实验法:给系统施加某种测试信号,记录输出 响应,并用适当的数学模型去逼近,这种方法 也称为系统辨识。,解析方法适用于简单、典型、常见的系统;而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。,总结:,一、 控制系统的时域模型,1、控制系统微分方程(运动方程),微分方程中含有输出量、输入量及他们对时间的导数或者积分),这种微分方程又称为运动方程,微分方程描述了系统的运动过程(变化过程)。,2、建立微分方程步骤,步骤1:确定系统中各元件的输入输出物理量。 步骤2:根据物理定律或化学定律(机理),列出元件的原始方程,在条件允许的情况下忽略次要因素,适当简化。 步骤3:消去中间变量,化成标准形式。,标准形式: 等号右边:输入变量及其各阶导数项; 等号左边:输出变量及其各阶导数项; 各导数按阶次由高到低排列。,例1 建立由RLC组成的电路,写运动方程,3、举例,步骤1: 确定系统中各元件的输入输出物理量,输入量:U1 输出量:U2,步骤2: 根据物理定律或化学定律(机理),列出元件的原始方程。,步骤3: 化成标准形式,若方程中系数为常数,即L、C及R为常数,则描述该电路的运动方程为二阶线性常系数微分方程。引入微分算子p=d/dt;p2=d2/dt2,即:,此数学模型描述了该电路在输入电压U1作用下电容两端电压U2的变化规律。,U11,LC1;RC1时。,例2:列出质量、弹簧和阻尼系统的运动方程。其中K为弹性系数,f为阻尼系数,M为物体质量。,步骤1: 确定系统中各元件的输入输出物理量,输入量:外力,输出量:位移,弹性阻力:,X,粘滞阻力:,输入外力:,步骤2: 根据物理定律或化学定律(机理),列出元件的原始方程。,【符合牛顿运动定律】,合力为:,代入方程有,由加速度定律:,整理得,步骤3: 化成标准形式,m=10, f=1, k=1,输入:,m=10, f=1, k=5,m=10, f=1, k=5,m=10, f=1, k=1,输入:,相似系统,RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程,为相似 系统。,相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统,也便于控制系统的计算 机数字仿真。,例3 速度控制系统的微分方程,被控对象:电动机(带负载) 系统输出:转速 输入量:ui 控制系统组成: 给定电位器 运算放大器(含比较作用) 功率放大器 直流电动机SM 测速发电机,各元部件的微分方程为:,1 、运算放大器: 给定电压与速度反馈电压在此合成,产生偏差电压并经放大,即:,2 、功率放大器,3 、直流电动机:,4、 测速发电机 测速发电机的输出电压 与其转速 成正比,即:,从上述个方程中削去中间变量 ,整理后 便得到控制系统的微分方程:,其中,控制系统的微分方程:,1、用微分方程表示系统的数学模型; 2、根据物理学定律,可以推导出控制系统的数学模型; 3、数学模型是一个数学表达式,表示了当有一个输入作用于控制系统时,系统输出随时间变化的过程。,总结,4、线性系统的基本特性,如果元件输入为: r1(t)、r2(t)、r(t) , 对应的输出为: c1(t)、c2(t)、c(t) 。 如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时, c(t)=c1(t)+c2(t) 满足迭加性。 如果 r(t)=ar1(t) 时, c(t)=ac1(t) 满足齐次性。 满足迭加性和齐次性的元件才是线性元件,例如 y=kx 是线性元件 输入 x1 输出 y1=kx1 x2 y2=kx2 输入x1 x2 y1 y2 满足迭加性 C为常数, Cx1 Cy1 满足齐次性,y=kx+b(b为常数0)线性方程,所表示的元件不是线性元件. 输入x1y1 输出 y1kx1+b x2y2 y2 =kx2+b 输入x1 x2 输出 y=k(x1 x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数:kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。,线性方程不一定满足迭加性和齐次性,重要特点:,迭加性表明:欲求系统在几个输入信号和干扰信 号同时作用下的总响应,只要对这几个外作用单 独求响应,然后加起来就是总响应。,齐次性表明:当外作用的数值增大若干倍时,其 响应的数值也增加若干倍。这样,我们可以采用 单位典型外作用(单位阶跃、单位脉冲、单位斜 坡等)对系统进行分析简化了问题。,5、线性定常微分方程的求解,步骤: (1)方程两边作拉氏变换 (2)代入初始条件和输入信号 (3)写出输出量的拉氏变换 (4)拉氏反变换求出系统输出的时间解,拉氏变换求解微分方程,记 则有,由于,于是,零初始条件响应,零输入响应,问题的产生 微分方程:直观,整理过程复杂,高阶系统求解困难。 拉氏变换法可以将时域中的微分、积分运算转换为复域内简单的代数运算。,微分方程,传递函数,拉式变换,二、控制系统的复数域数学模型(传递函数),1、传递函数 (transfer function),传递函数的概念和定义: 在线性定常系统或元件,零初始条件下,系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,称为该系统的传递函数。,传递函数,进行拉式变换,得:,零初始条件:,1、系统的输入在t 0时才作用于系统。因此,对于t小于0时,系统输入及其各阶导数恒等于0。 2、系统的输入作用于系统之前。系统处于稳定的工作状态,即系统的输出及其各阶导数恒等于0。,2、传递函数的通用形式,对于一线性定常系统,可用微分方程来表示:,若系统的输入和输出以及他们的各阶导数在t=0时皆为零,且有n=m,令所有的初始条件全为零,即,对方程两端逐项进行拉普拉斯变换。则有:,输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换 U(s)比为:,m,n,传递函数的性质:, 传递函数是复变量 s 的有理真分式函数,分子多项式的次数 m 小于或等于分母多项式的次数n,所有系数均为实数;, 传递函数只取决于系统和元件的结构,与输入信号无关;, 传递函数与微分方程有相通性,可经简单置换而转换。即在微分方程中将微分算子 及传递函数中的 互换,即可实现微分方程与传递函数之间的转换;,只适用于线性定常系统, 传递函数 的拉氏逆变换是系统的脉冲响应,注意到设,是系统对于单位脉冲输入,的输出的拉氏变换的像。则有,于是关于上式两边求拉氏逆变换既得到,3、传递函数的零点和极点,传递函数分子多项式与分母多项式,经因式分解可写为如下形式:,传递函数分子多项式的根 zi 称为传递函数的零点;分母多项式的根 pj 称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。 零点和极点可以是实数,也可以是复数。,零、极点分布图:,称为传递系数或频率增益,在频率法中使用较多。,传递函数分子多项式与分母多项式也可分解为如下形式(时间常数形式):,4、传递函数的零点和极点对输出的影响,例: 具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点决定系统响应形式(模态),零点影响各 模态在响应中所占比重。,极点可以受输入函数的激励,在输出响应中形成自由运动模态。,设系统传递函数为 其极点为 ,零点为 自 由运动模态为 。 给定输入,则有,进而,输出响应中前两项具有与输入函数相同的模态, 但后两项包含了系统极点-1和-2 形成的运动模态。 这是系统固有的模态,其系数则与系统的输入有 关。因此我们可以认为这两项是系统受到输入函 数激励所引起的运动模态。,5、控制系统传递函数 基本电路元件传递函数(复数阻抗),电网络系统的传递函数可直接由复数阻抗写出,例: RLC 网络如图,试采用复数阻抗法求取该 网络的传递函数。,传递函数为,已知某电路如图所示,求传递函数。,由节点电流及运算放大器的虚地、虚断条件,比例环节,典型环节传递函数方块图形式,控制系统通常由若干个基本部件组合而成,如比例、积分、微分、一阶惯性、二阶振荡、延迟环节,这些基本部件称为典型环节。,积分环节,微分环节,一阶惯性环节,二阶振荡环节,延迟环节,例: 有源网络如图所示,求传递函数。,解:,6、负载效益,要在系统正常工作的条件下考虑其传递函数,把后一级对前一级的负载效应考虑进去。,例:如右电路,求,解:(1)当成整体看:,(2)分解成两部分看:,元部件 方框(块)图 信号(物理量)及传递方向 中的符号 比较点 引出点 表示负反馈,三、 控制系统的方框图,方框图中各符号的意义,1、控制系统的方框图,基本单元,信号线 有箭头的直线,表示信号的流向,箭头表示信号传递的方向,X,引出点(测量点) 信号引出或者测量的位置,从同一位置引出的信号在数值和性质上完全相同。,比较点(综合点) 对两个以上的信号进行加减运算; “”表示相加,“”表示相减,方框(环节): 对信号进行的数学变换,相当于算子,方框中写入元件或系统的传递函数。 输出输入传递函数,(s),2、绘制方法,首先写出各环节的运动方程; 其次基于运动方程求取各环节的传递函数; 再次根据传递函数画出相应的函数方框; 最后按信号流向将函数方框一一联接起来即得系统方框图。,RC网络的微分方程式为,例,试绘制图无源RC网络的结构图,1)建立各元件的微分方程,2)将各元件的微分方程进行拉氏变换,并 改写成以下相乘形式,3)绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序,依次将各元件的结构图连接起来,作用:1)直观形象的分析变量之间的关系 2)方便求解传递函数,进行数学的运算; 能直观了解每个元部件对系统性能的影响; 各元件之间的相互关系。 系统方框图也是系统的一种数学模型。,方框图表示的特点,【注意】,方框与元件不是一一对应的,一个元件可以用几个方框表示;相反,一个方框也可以用几个元件表示。,3、不同组合方式等效传递函数,串联方式,并联方式,反馈方式,串联环节,结论:串联结构总传递函数等于各个 环节传递函数的乘积。,并联环节,结论:并联结构总传递函数等 于各个环节传递函数的代数和。,反馈回路,按照信号传递的关系可写出:,消去E(s)和B(s),得,因此,若反馈通路的传递函数H(s)=1,常称作单位反馈。,此处的加号对应于负反馈;减号对应于正反馈。,R(s)
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号