课时规范练课时规范练 46 圆的方程圆的方程 一、基础巩固组 1.(2017 云南昆明一中模拟)若点 A,B 在圆 O:x2+y2=4 上,弦 AB 的中点为 D(1,1),则直线 AB 的方程是( ) A.x-y=0B.x+y=0 C.x-y-2=0D.x+y-2=0 2.(2017 山西临汾模拟)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是( ) A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1D.(x-3)2+(y-1)2=1 3.已知实数 x,y 满足(x+5)2+(y-12)2=122,则 x2+y2的最小值为( ) A.2B.1C.D. 32 4.已知三点 A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) 33 A.B.C.D. 5 3 21 3 2 5 3 4 3 5.已知圆 C 的圆心在曲线 y= 上,圆 C 过坐标原点 O,且分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点,则OAB 的 2 面积等于( ) A.2B.3C.4D.8 6.(2017 广东深圳五校联考)已知直线 l:x+my+4=0,若曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上存在两点 P,Q 关于直 线 l 对称,则 m 的值为( ) A.2B.-2C.1D.-1导学号 21500756 7.(2017 北京东城区调研)当方程 x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线 ( 2 0).又由圆与直线 4x-3y=0 相切可 得=1,解得 a=2,故圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. |4 - 3| 5 3.B 设 P(x,y),则点 P 在圆(x+5)2+(y-12)2=122上,则圆心 C(-5,12),半径 r=12,x2+y2= 2=|OP|2. ( - 0)2+ ( - 0)2 又|OP|的最小值是|OC|-r=13-12=1,所以 x2+y2的最小值为 1. 4.B 由题意知,ABC 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 AB 垂直平分线的交点 P,而线段 AB 垂直平 分线的方程为 y-,它与 x=1 联立得圆心 P 坐标为, 3 2 = 3 3( - 1 2) ( 1, 2 3 3) 则|OP|= 12+(2 3 3) 2 = 21 3 . 5.C 设圆心的坐标是( , 2 ). 圆 C 过坐标原点, |OC|2=t2+ , 4 2 圆 C 的方程为(x-t)2+=t2+ ( - 2 ) 2 4 2. 令 x=0,得 y1=0,y2= , 4 点 B 的坐标为; ( 0, 4 ) 令 y=0,得 x1=0,x2=2t, 点 A 的坐标为(2t,0), SOAB= |OA|OB|=|2t|=4,即OAB 的面积为 4. 1 2 1 2 |4 | 6.D 曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 是圆(x+1)2+(y-3)2=9,若圆(x+1)2+(y-3)2=9 上存在两点 P,Q 关于直线 l 对称,则直线 l:x+my+4=0 过圆心(-1,3),所以-1+3m+4=0,解得 m=-1,故选 D. 7 由题意知,圆的半径 r=1 .3 4 1 2 2+ 4 - 42= 1 2 4 - 32(20 矛盾. 舍去=(6,8). = - 6, = - 8, ? 即 (2)圆 x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为 C(3,-1),半径 r= 1010. =(4,-3)+(6,8)=(10,5), = + 直线 OB 的方程为 y= x. 1 2 设圆心 C(3,-1)关于直线 y= x 的对称点的坐标为(a,b), 1 2 则解得 + 1 - 3 = - 2, - 1 2 = 1 2 + 3 2 , ? = 1, = 3, ? 故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10. 14.(x-2)2+(y-1)2=5 由题意知,此平面区域表示的是以 O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部, 所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆. 因为OPQ 为直角三角形, 所以圆心为斜边 PQ 的中点(2,1),半径 r=, | 2 =5 所以圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 15.解 (1)将圆 C 配方,得(x+1)2+(y-2)2=2. 当切线在两坐标轴上的截距为零时,设切线方程为 y=kx,由,得 k=2, | + 2| 1 + 2 =2 6 切线方程为 y=(2)x. 6 当切线在两坐标轴上的截距不为零时,设切线方程为 x+y-a=0(a0),由,得|a-1|=2,即 | - 1 + 2 - | 2 =2 a=-1 或 a=3. 切线方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 综上,圆的切线方程为 y=(2+)x 或 y=(2-)x 或 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 66 (2)由|PO|=|PM|,得=(x1+1)2+(y1-2)2-2,整理得 2x1-4y1+3=0,即点 P 在直线 l:2x-4y+3=0 上. 2 1+ 2 1 当|PM|取最小值时,|PO|取最小值,此时直线 POl, 直线 PO 的方程为 2x+y=0. 解方程组得点 P 的坐标为 2 + = 0, 2 - 4 + 3 = 0, ? (- 3 10, 3 5).