课时规范练课时规范练 30 等比数列及其前等比数列及其前 n 项和项和 一、基础巩固组 1.已知等比数列an满足 a1= ,a3a5=4(a4-1),则 a2=( ) 1 4 A.2B.1C.D. 1 2 1 8 2.在正项等比数列an中,a2,a48是方程 2x2-7x+6=0 的两个根,则 a1a2a25a48a49的值为( ) A.B.9C.9D.35 21 233 3.(2017 安徽黄山市二模,理 3)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且 a1=2,an+1=Sn+1(nN*),则 S5=( ) A.31B.42C.37D.47 4.设首项为 1,公比为 的等比数列an的前 n 项和为 Sn,则( ) 2 3 A.Sn=2an-1B.Sn=3an-2 C.Sn=4-3anD.Sn=3-2an 5.(2017 全国,理 9)等差数列an的首项为 1,公差不为 0.若 a2,a3,a6成等比数列,则an前 6 项的和为 ( ) A.-24B.-3C.3D.8 6.(2017 辽宁鞍山一模,理 4)已知数列an满足=an-1an+1(n2),若 a2=3,a2+a4+a6=21,则 a4+a6+a8=( ) 2 A.84B.63C.42D.21导学号 21500732 7.设数列an是首项为 a1,公差为-1 的等差数列,Sn为其前 n 项和.若 S1,S2,S4成等比数列,则 a1的值为 . 8.(2017 北京,理 10)若等差数列an和等比数列bn满足 a1=b1=-1,a4=b4=8,则 = . 2 2 9.(2017 江苏,9)等比数列an的各项均为实数,其前 n 项和为 Sn.已知 S3= ,S6=,则 a8= . 7 4 63 4 10.(2017 安徽池州模拟)设数列an的前 n 项和为 Sn,a1=1,且数列Sn是以 2 为公比的等比数列. (1)求数列an的通项公式; (2)求 a1+a3+a2n+1. 二、综合提升组 11.(2017 四川广元二诊,理 6)已知数列an的前 n 项和为 Sn,且对任意正整数 n 都有 an= Sn+2 成立. 3 4 若 bn=log2an,则 b1 008=( ) A.2 017B.2 016C.2 015D.2 014 12.(2018 河南南阳期末,理 5)已知各项均为正数的等比数列an,a3a5=2,若 f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a7),则 f(0)=( ) A.8B.-8C.128D.-128 22 13.已知an是公差为 3 的等差数列,数列bn满足 b1=1,b2= ,anbn+1+bn+1=nbn. 1 3 (1)求an的通项公式; (2)求bn的前 n 项和. 三、创新应用组 14.已知数列an的前 n 项和 Sn满足 Sn=2an+(-1)n. (1)求数列an的前三项 a1,a2,a3; (2)求证:数列为等比数列,并求出an的通项公式. + 2 3( - 1) 导学号 21500733 课时规范练 30 等比数列及其前 n 项和 1.C a3a5=4(a4-1),=4(a4-1), 2 4 解得 a4=2. 又 a4=a1q3,且 a1= ,q=2, 1 4 a2=a1q= 1 2. 2.B a2,a48是方程 2x2-7x+6=0 的两个根,a2a48=3. 又 a1a49=a2a48=3,a250, 2 25 a1a2a25a48a49=9 5 25 3. 3.D an+1=Sn+1(nN*), Sn+1-Sn=Sn+1(nN*), Sn+1+1=2(Sn+1)(nN*), 数列Sn+1是首项为 3,公比为 2 的等比数列.则 S5+1=324,解得 S5=47. 4.D Sn=3-2an,故选 D. 1(1 - ) 1 - = 1 - 1 - = 1 - 2 3 1 - 2 3 5.A 设等差数列的公差为 d,则 d0,=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得 d=-2,所以 S6=61+ 2 3 (-2)=-24,故选 A. 6 5 2 6.C =an-1an+1(n2), 2 数列an是等比数列,设其公比为 q,a2=3,a2+a4+a6=3+3q2+3q4=21,即 q4+q2-6=0,解得 q2=2 或 q2=-3(舍去), a4+a6+a8=a2q2+a4q2+a6q2=2(a2+a4+a6)=42,故选 C. 7.- 由已知得 S1=a1,S2=a1+a2=2a1-1,S4=4a1+(-1)=4a1-6,而 S1,S2,S4成等比数列, 1 2 4 3 2 (2a1-1)2=a1(4a1-6),整理,得 2a1+1=0,解得 a1=- 1 2. 8.1 设等差数列an的公差为 d,等比数列bn的公比为 q, 由题意知-1+3d=-q3=8, 即解得 - 1 + 3 = 8, - 3 = 8, ? = 3, = - 2. ? 故=1. 2 2 = - 1 + 3 - 1 ( - 2) 9.32 设该等比数列的公比为 q,则 S6-S3=14,即 a4+a5+a6=14. 63 4 7 4 S3= ,a1+a2+a3= 7 4 7 4. 由得(a1+a2+a3)q3=14, q3=8,即 q=2. 14 7 4 a1+2a1+4a1= ,a1= , 7 4 1 4 a8=a1q7=27=32. 1 4 10.解 (1)S1=a1=1,且数列Sn是以 2 为公比的等比数列,Sn=2n-1, 又当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. 当 n=1 时,a1=1,不适合上式. an= 1, = 1, 2 - 2, 2. ? (2)a3,a5,a2n+1是以 2 为首项,4 为公比的等比数列,a3+a5+a2n+1= 2(1 - 4) 1 - 4 = 2(4- 1) 3 . a1+a3+a2n+1=1+ 2(4- 1) 3 = 22 + 1+ 1 3 . 11.A 在 an= Sn+2 中,令 n=1 得 a1=8,an= Sn+2 成立, 3 4 3 4 an+1= Sn+1+2 成立, 3 4 两式相减得 an+1-an= an+1, 3 4 an+1=4an,又 a10,数列an为等比数列, an=84n-1=22n+1,bn=log2an=2n+1,b1 008=2 017,故选 A. 12.B 13.解 (1)由已知,得 a1b2+b2=b1, 因为 b1=1,b2= ,所以 a1=2. 1 3 所以数列an是首项为 2,公差为 3 的等差数列,通项公式为 an=3n-1. (2)由(1)和 anbn+1+bn+1=nbn,得 bn+1= ,因此bn是首项为 1,公比为 的等比数列. 3 1 3 记bn的前 n 项和为 Sn,则 Sn= 1 - ( 1 3) 1 - 1 3 = 3 2 1 2 3 - 1. 14.(1)解 在 Sn=2an+(-1)n中分别令 n=1,2,3,得 1= 21- 1, 1+ 2= 22 + 1, 1+ 2+ 3= 23- 1, ? 解得 1 = 1, 2 = 0, 3 = 2. ? (2)证明 由 Sn=2an+(-1)n(nN*)得 Sn-1=2an-1+(-1)n-1(n2),两式相减,得 an=2an-1-2(-1)n(n2). an=2an-1- (-1)n- (-1)n 4 3 2 3 =2an-1+ (-1)n-1- (-1)n(n2), 4 3 2 3 an+ (-1)n 2 3 =2(n2). - 1+ 2 3( - 1) - 1 数列是以 a1-为首项,以 2 为公比的等比数列. + 2 3( - 1) 2 3 = 1 3 an+ (-1)n=2n-1. 2 3 1 3 an=(-1)n. 2 - 1 3 2 3