函数模型及其应用,3.2.1 几类不同增长的函数模型二,我们知道，对数函数 ，指数函数 与幂函数 在区间 上都是增函数。从上述两个例子可以看到，这三类函数的增长是有差异的。那么，这种差异的具体情况到底怎样呢？,下面，我们不妨先以 函数为例进行探究。,利用计算器或计算机，以一定的步长列出自变量与函数值的对应表（表3-5） ，并在同一平面直角坐标系内画出三个函数的图象（图3.2-4）。可以看到，虽然它们都是增函数，但它们的增长速度是不同的。,表3-5,从图可以看到， 和 的图象有两个交点，这表明 与 在自变量不同的区间有不同的大小关系，有时 ，有时 。,下面我们在更大的范围内，观察 和 的增长情况,但是,当自变量 要越来越大时，可以看到， 的图象就像与 轴垂直一样， 的值快速增长， 比起 来，几乎有些微不足道，如图3.2-6和表3-7所示。,探究,你能借助图象，对 和 的增长情况进行比较吗？,请在图象上分别标出使不等式 成立的自变量 的取值范围,结论,一般地，对于指数函数 和幂函数 ，通过探索可以发现，在区间 上，无论 比 大多少，尽管在 的一定变化范围内， 会小于 ，由于 的增长快于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 。,同样地，对于对数函数 和幂函数 , 在区间 上，随着 的增大， 增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与 轴平行一样，尽管在 的一定变化范围内， 可能会大于 ，但由于 的增长慢于 的增长，因此总存在一个 ，当 时，就会有 。,综上所述，在区间 上，尽 管 函 数 、 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着 的增大， 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 的增长速度， 而 的增长速度则会越来越慢。因此，总会存在一个 ， 当 时，就有 。,探究,你能用同样的方法，讨论一下函数： 、 、 在区间 上的衰减情况吗？,练习P119,在同一个平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：,