第7章 非正弦交流电路,第1节 非正弦周期电流的谐波分析 第2节 非正弦周期波的平均功率和有效值 第3节 非正弦交流电路的计算,第1节 非正弦周期电流的谐波分析,观察下表可知：非正弦交流电路在工程实际中应用广泛 ，研究非正弦周期电流电路具有更普遍的意义。,由高等数学可知，任何周期函数，如果满足狄里赫利条件， 都可分解为傅里叶级数。 设 f(t)是周期函数，其周期为T，角频 率=2/T，可分解为如下形式,其中A0，Ak，Bk称为傅里叶系数，其值可由下列各式求出,一、傅里叶级数,其中,利用三角关系可以将傅氏级数转换为带有初相角的另一种正弦表达形式，即,一个非正弦周期电流，可以用一个直流分量、基波和 无限个高次谐波分量之和表示，这就是傅氏级数的物理意义。,结论：,1若f(t)= f (t) , f (t) 称为奇函数，波形对称于原点。可证明， 奇函数的傅里叶级数中，不含直流分量和余弦项，只有正弦项。 展开式为,二、谐波分析法,把一个非正弦周期波分解为傅里叶级数，称为谐波分析。 电子技术中遇到的非正弦周期波常具有对称性，利用波形对称性质可判断傅氏级数展开式中那些项不存在，使展开式的求解工作得以简化。,利用波形对称性，减少求傅氏系数计算量的方法：,2若 f(t)=f(t) ， f(t) 称为偶函数，波形对称于纵轴。可 证明，偶函数的傅氏级数中，不含正弦项，只有余弦项，当 函数的平均值不为零时，还有直流分量。展开式为,3若 f(t ) = f (t +T/2)， f(t) 称为奇谐函数 。将前半周 期波形移动半个周期，与后半周期波形对称于横轴（镜像对 称）。可证明，它的傅氏级数中，不含直流分量和偶次谐波， 只含奇次谐波。展开式为,解 波形对称于原点，既是奇函数又是奇谐函数，故 傅氏级数中仅含正弦项并且只有奇次项。先写出给定波形 在一个周期内的表达式 f (t)=1 0 t T/2 f (t)= 1 T/2 t T,【例7-1】 求所示方波的傅里叶级数。,【例7-2】试求所示方波的傅里叶级数。,解 此波形对称于纵轴为偶函数 ，又是奇谐函数，可知其傅氏级数中仅含余弦项的奇次谐波。解题思路同上，可先写出给定波形在一个周期内的表达式 ，再按式求得AK，则,说明：于上例对比可知，同一 波形可以因计时起点的不同，表现 出奇对称或偶对称或没有这类对称，故在谐波分析时恰当选择 坐标原点，可使分解过程简化。,在工程计算中，更常用的方法是查表法。以下列出了常见非 正弦周期电流的傅里叶级数，详见教材P145。,第2节 非正弦周期波的平均功率和有效值,一个无源二端网络N，端口电压和电流均为同频率的非正 弦周期量，取关联参考方向，其傅氏级数表达式为,一、非正弦周期波的平均功率,瞬时功率为,瞬时功率为,平均功率为,上式第2、3项中任一项都是正弦函数，在一个周期内积分 为零，平均功率为零；第4项中每一项都是两个不同频率正弦 量之积，根据正交性，它在一个周期内的积分也为零，即平均 功率为零。对第1、5两项积分得网络的平均功率，即,式中U0、I0为直流分量， Uk、Ik 为同次谐波电压、电流的有 效值， 为同次谐波电压、电流的相位差。,非正弦周期电流作用于二端网络时，网络吸收的平均功率等于直流分量的平均功率与各同次谐波电压、电流构成的平均功率之和。 直流与各次谐波及各不同次谐波的电压、电流均不能构成平均功率。,结论：,【例7-3】二端网络端钮u(t)=100+100cost+50cos2t+30cos3t V, 流入网络的电流i(t)=10cos(t 60)+2cos(3t 135) A,试求二端 网络吸收的平均功率。,解 （1）直流分量的平均功率，因为U0=100 V, I0=0 ，故 P0=0,（2）基波电压电流的平均功率为,（3）二次谐波分量的平均功率，因为Um2=50 V , Im2=0，故 P2=0,（4）三次谐波电压电流的平均功率为,总的平均功率为 P=P1+P2=250 21.2= 228.8 W,二、非正弦周期电流的有效值,从作功等效的角度，引出了正弦量有效值概念，同样思路，可以导出非正弦周期电流有效值的表达式。,非正弦周期电流为 i(t)=I0 +Im1sint +Im2sin2t +Im3sin3t +,流过电阻元件R产生的平均功率为,(I0为直流分量，I1、 I2 、 I3 ，分别为各次谐波的有效值。),根据有效值定义，非正弦周期电流有效值应满足,则有,同理,非正弦周期量的有效值，等于直流分量及各次谐波分 量有效值平方和的平方根。,非正弦周期电流、电压有效值,结论：,【例74】非正弦周期电流为i(t)=4+5sint3cost A,试 求有效值。,解,第3节 非正弦交流电路的计算,1、将给定的非正弦周期电压（或电流）分解成直流分量 及各次谐波分量之和的形式。（高次谐波取到哪一项，视计算精度而定。）,分析非正弦周期交流电路稳态响应步骤：,2、分别求出各电压（或电流）分量单独作用时的响应。,（1）直流电源单独作用时，L视为短路，C视为开路，此时即为电阻电路的计算。 （2）各次谐波的电源单独作用时，与正弦交流电路的计算相同，可用相量法计算。(应注意:对不同的谐波，感抗和容抗值不同。),3、将上一步各电源单独作用时的瞬时值响应式叠加，即 得总响应。,注意：因相量法只能用于同频率正弦量的计算，故叠加时不能用相量式相加减，而只能用 瞬值式相加减。,【7-5】u1(t)为全波整流波形，已知傅里叶级数为,试求电压u2(t)中的直流 基波和二次谐波。,解（1）对各个分量，由分压关系得,分别求出u1(t)各分量单独作用时的输出电压分量：,对直流分量，=0 ，则,对基波分量，= 628 rad/s，则,对二次谐波分量，=1 256 rad/s，则,（2）将各分量单独作用时瞬时值响应式叠加，得总响应为,【7-6】已知u(t)=10+141.4sint+70.7sin(3t+30)V ， 对于 基波jXL(1)=j2,jXC(1)=j15。 试求：（1）各支路电流和总电流； （2）R1支路吸收的平均功率。,解（1）分别求出各分量单独作用时电流的响应 直流分量 u(0)(t)=10 V 单独作用时等效电路如图。,基波分量 u(1)(t)=141.4sint 单独作用时等效电路如图。,三次谐波分量 u(3)(t)= 70.7sin(3t+30) 单独作用等效电路如图。,将各分量单独作用时电流的瞬时响应式叠加，得总电流响应为,（2）求R1支路吸收的平均功率。,小结,1一个非正弦周期电流可用傅里叶级数分解为直流和若干个 谐波之和的形式,4不同频率的电压、电流不能构成平均功率。非正弦周期 电流电路中的平均功率，等于直流分量与各同次谐波电压、 电流构成的平均功率之和，即,5非正弦周期电流的有效值，等于它的直流分量与各次谐波 分量有效值的平方和的平方根，即,本章结束,3若 f(t ) = f (t +T/2)， f(t) 称为奇谐函数 。将前半周 期波形移动半个周期，与后半周期波形对称于横轴（镜像对 称）。可证明，它的傅氏级数中，不含直流分量和偶次谐波， 只含奇次谐波。展开式为,