结构动力学问题的有限元法 结构自振频率与振型,在式 中，令P(t)0，得到自由振动方程。在实际工程中，阻尼对结构自振频率和振型的影响不大，因此可进一步忽略阻尼力，得到无阻尼自由振动的运动方程 设结构作下述简谐运动 把上式代人式(2-2-15) ，可得到齐次方程 在自由振动时，结构中各节点的振幅不全为零，所以结构自振频率方程为,(2-2-15),(2-2-16),(2-2-17),结构动力学问题的有限元法 . 结构自振频率与振型,结构的刚度矩阵K 和质量矩阵M 都是n 阶方阵，其中n是节点自由度的数目，所以上式是关于2的n 次代数方程，由此可求出结构的自振频率 123n 对于每个自振频率，由奇次方程可确定一组各节点的振幅值 i i1， i2，inT，它们互相之间应保持固定的比值，但绝对值可任意变化，它们构成一个向量，称为特征向量，在工程上通常称为结构的振型。 因为在每个振型中，各节点的振幅是相对的，其绝对值可取任意数值。在实际工作中，常用以下两种方法之一来决定振型的具体数值： (1) 规准化振型：取i 的某一项，例如取第n项为1，即 in1，于是 i i1， i2，1T 这样的振型称为规准化振型。,(2-2-18),结构动力学问题的有限元法 . 结构自振频率与振型,(2)正则化振型：选取 ij的数值，使 这样的振型称为正则化振型。 设已求得一振型 ，如令 则得到的 为规准化振型。如令 则得到的为正则化振型。 令,(2-2-19),(2-2-20),(2-2-21),(2-2-22),结构动力学问题的有限元法 . 结构自振频率与振型,当M 为集中质量矩阵时，则 当 为正则化振型时，有 mpi=1 令 式中，mpi和kpi分别称为第i阶振型相应的广义质量和广义刚度。 由上式得,(2-2-23),(2-2-24),结构动力学问题的有限元法 结构自振频率与振型,求解K =2M 的振型，其中 求解频率方程为 求得三个自振频率为,结构动力学问题的有限元法 . 结构自振频率与振型,将 代入式 中，得到第1振型必须满足的方程组如下 11-12+0=0，-11+212-13=0，11-12+13=0 联立前两个方程解出 11=13，12=13 取13=1，得到规准化的第一振型为 1=1 1 1T 用同样方法得到第2、3振型为 2=-1 0 1T 3=1 -1 1T 由式（2-2-21）得到正则化振型如下 1=1/ 1/ 1/ T 2=-1 0 1T 3=1/ -1/ 1/ T,