学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函 数的单调性、极值与最值的综合应用 知识点一 函数的单调性与其导数的关系 定义在区间(a，b)内的函数 yf(x) f(x)的正负 f(x)的单调性 f(x)0 单调递_ f(x)f(x)若 a，b，则 a f2 e2 f3 e3 与 b 的大小关系为_(用“”连接) 命题角度 2 求解不等式 例 3 定义域为 R 的可导函数 yf(x)的导函数 f(x)满足 f(x)2ex的解集为( ) A(，0) B(，2) C(0，) D(2，) 反思与感悟 根据所求结论与已知条件，构造函数 g(x)，通过导函数判断 g(x)的单调性， fx ex 利用单调性得到 x 的取值范围 跟踪训练 3 函数 f(x)的定义域为 R，f(1)2，对任意 xR，f(x)2，则 f(x)2x4 的解 集为( ) A(1,1) B(1，) C(，1) D(，) 命题角度 3 利用导数证明不等式 例 4 已知 x1，证明不等式 x1ln x. 反思与感悟 利用函数的最值证明不等式的基本步骤 (1)将不等式构造成 f(x)0(或0 时，22xf(b)g(b) Bf(x)g(a)f(a)g(x) Cf(x)g(b)f(b)g(x) Df(x)g(x)f(a)g(a) 3若函数 f(x)(x2)(x2c)在 x2 处有极值，则函数 f(x)的图象在 x1 处的切线的斜率为 _ 4函数 f(x)x33x1，若对于区间3,2上的任意 x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|t，则实数 t 的最小值是_ 5已知 x0，求证：xsin x. 导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值 等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进 一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方 法 答案精析答案精析 知识梳理 知识点一 增 减 知识点二 (1)f(x)0 f(x)0 知识点三 2极值 f(a)，f(b) 最大 最小 题型探究 例 1 C 当 00， f(x)0，故 yf(x)在(1,2)上为增函数，因此排除 D. 跟踪训练 1 A 函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f(x)， 且函数 f(x)在 x2 处取得极小值， 当 x2 时，f(x)0； 当 x2 时，f(x)0； 当 x0. 由此观察四个选项，故选 A. 例 2 B 令 g(x)xf(x)， 则 g(x)(x)f(x)xf(x)， g(x)是偶函数 g(x)f(x)xf(x)， f(x)0 时，xf(x)f(x)0. g(x)在(0，)上是减函数 b 解析 设 g(x)， fx ex 则当 x0 时，g(x)g(3)，即， f2 e2 f3 e3 所以 ab. 例 3 C 设 g(x)， fx ex 则 g(x). fxfx ex f(x)0，即函数 g(x)单调递增 f(0)2，g(0)2， f0 e0 则不等式等价于 g(x)g(0) 函数 g(x)单调递增， x0，不等式的解集为(0，)，故选 C. 跟踪训练 3 B 令 g(x)f(x)2x4，f(x)2， 则 g(x)f(x)20. 又由 g(1)f(1)2(1)40， 得 g(x)0，即 g(x)g(1)的解为 x1， f(x)2x4 的解集为(1，) 例 4 证明 设 f(x)x1ln x，x(1，)， 则 f(x)1 ， 1 x x1 x 因为 x(1，)， 所以 f(x)0， x1 x 即函数 f(x)在(1，)上是增函数， 又 x1， 所以 f(x)f(1)11ln 10， 即 x1ln x0，所以 x1ln x. 跟踪训练 4 证明 设 f(x)22x2ex， 则 f(x)22ex2(1ex) 当 x0 时，exe01， f(x)2(1ex)0 时，22x2ex0. 要使 g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根， 则Error!Error!即Error!Error! 解得20， 得 x4. f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)， f(x)极大值f(4)128， f(x)极小值f(4)128. (3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，对 f(4)128， f(1)47，f(5)115， 当 x1,5时，函数的最大值为47，最小值为128. 当堂训练 1C 由题意可知 f(0)0，f(1)0， f(2)0， 可得 1bc0,84b2c0， 解得 b3，c2， 所以函数的解析式为 f(x)x33x22x， 所以 f(x)3x26x2. 令 3x26x20， 可得 x1x22，x1x2 ， 2 3 所以 x x (x1x2)22x1x2 2 12 2 42 . 2 3 8 3 2C 由条件，得 f(b)g(x) 35 解析 函数 f(x)(x2)(x2c)在 x2 处有极值， f(x)(x2c)(x2)2x. f(2)0，c40，c4， f(x)(x24)(x2)2x， 函数 f(x)的图象在 x1 处的切线的斜率为 f(1)(14)(12)25. 420 解析 由 f(x)3x230，得 x1， 则 f(x)minf(3)19， f(x)maxf(1)1， 由题意知，|f(x1)f(x2)|max |191|20， t20，故 tmin20. 5证明 设 f(x)xsin x(x0)， 则 f(x)1cos x0 对 x(0，)恒成立， 函数 f(x)xsin x 在(0，)上单调递增， 又 f(0)0， f(x)0 对 x(0，)恒成立， xsin x(x0)