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33.2 利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值(二二) 学习目标 1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数 的最值 知识点 函数的最值 如图为 yf(x),xa,b的图象 思考 1 观察a,b上函数 yf(x)的图象,试找出它的极大值、极小值 思考 2 结合图象判断,函数 yf(x)在区间a,b上是否存在最大值,最小值?若存在,分 别为多少? 思考 3 怎样确定函数 f(x)在a,b上的最小值和最大值? 梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性 假设函数 yf(x)在闭区间a,b上的图象是一条_的曲线,该函数在a,b一 定能够取得最大值与最小值 (2)求可导函数 yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤如下: 求 f(x)在开区间(a,b)内所有_; 计算函数 f(x)在_和_处的函数值,其中最大的一个为_, 最小的一个为_ 类型一 求函数的最值 命题角度 1 不含参数的函数最值问题 例 1 求下列函数的最值: (1)f(x)2x312x,x2,3; (2)f(x) xsin x,x0,2 1 2 反思与感悟 求解函数在闭区间上的最值,需注意以下几点: (1)对函数进行准确求导,并检验 f(x)0 的根是否在给定区间内 (2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值 (3)比较极值与端点函数值的大小,确定最值 跟踪训练 1 求函数 f(x)ex(3x2),x2,5的最值 命题角度 2 含参数的函数最值问题 例 2 已知函数 f(x)exax2bx1,其中 a,bR,e2.718 28为自然对数的底数 设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间0,1上的最小值 反思与感悟 对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于 0,等于 0,小于 0 三种情况若 导函数恒不等于 0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等 于 0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值 跟踪训练 2 已知 a 是实数,函数 f(x)x2(xa) (1)若 f(1)3,求 a 的值及曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程; (2)求 f(x)在区间0,2上的最大值 类型二 由函数的最值求参数 例 3 已知函数 f(x)ax36ax2b,x1,2的最大值为 3,最小值为29,求 a,b 的 值 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维,一般 先求导数,利用导数研究函数的单调性及极值点,探索最值点,根据已知最值列方程(不等式)解 决问题其中注意分类讨论思想的应用 跟踪训练 3 设 f(x) x3 x22ax.当 00 成立 1 a 反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练 4 已知函数 f(x)(x1)ln xx1. 若 xf(x)x2ax1 恒成立,求 a 的取值范围 1函数 f(x)x33x(|x|0),若当 x(0,)时,f(x)2 恒成立,则实数 a 的取值范 a x2 围是_ 1求函数在闭区间上的最值,只需比较极值和端点处的函数值即可;若函数在一个开区间 内只有一个极值,则这个极值就是最值 2已知最值求参数时,可先确定参数的值,用参数表示最值时,应分类讨论 3 “恒成立”问题可转化为函数最值问题 答案精析答案精析 问题导学 知识点 思考 1 极大值为 f(x1),f(x3),极小值为 f(x2),f(x4) 思考 2 存在,f(x)minf(a), f(x)maxf(x3) 思考 3 比较极值与区间端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值 梳理 (1)连续不断 (2)极值点 极值点 端点 最大值 最小值 题型探究 例 1 解 (1)f(x)2x312x, 所以 f(x)6x212 6(x)(x), 22 令 f(x)0,解得 x或 x. 22 因为 f(2)8,f(3)18, f()8, 22 f()8, 22 所以当 x时, 2 f(x)取得最小值8; 2 当 x3 时,f(x)取得最大值 18. (2)f(x) cos x,x0,2, 1 2 令 f(x)0, 解得 x或 x. 2 3 4 3 因为 f(0)0,f(2),f() 2 3 , 3 3 2 f(), 4 3 2 3 3 2 所以当 x0 时,f(x)有最小值 f(0)0; 当 x2 时,f(x)有最大值 f(2). 跟踪训练 1 解 f(x)3exexx2, f(x)3ex(exx22exx) ex(x22x3) ex(x3)(x1) 在区间2,5上, f(x)ex(x3)(x1)0, 即 0 时,f(x),f(x)的变化情况如下表: x1(1,0)0(0,2)2 f(x) 0 f(x)7abb 16ab 由表可知,当 x0 时,f(x)取得极大值 b,也是函数 f(x)在1,2上的最大值,f(0)b3. 又 f(1)7a3, f(2)16a3f(1), f(2)16a293,解得 a2. 综上可得,a2,b3 或 a2,b29. 跟踪训练 3 解 f(x)x2x2a, 令 f(x)0,得两根 x1, 1 18a 2 x2. 1 18a 2 当 x(,x1),(x2,)时, f(x)0, 所以 f(x)在(,x1),(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增 当 00, 故(1,)是 g(x)的单调递增区间 因此 x1 是 g(x)在(0,)上的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,所以最小值 为 g(1)1. (2)因为 g(a)g(x)0 成立, 1 a 即 ln a0 成立 由(1)知,g(x)的最小值为 1, 所以 ln a0, 2, 则函数 y 在区间上为增函数, 2, 所以 y 的最大值为 ymaxsin , 故选 C. 34 解析 f(x)3ax2,f(1)3a6,a2. 当 x1,2时,f(x)6x20, 即 f(x)在1,2上是增函数, f(x)在1,2上的最大值为 f(2)223c20, c4. 4B f(x)3x23a,令 f(x)0,可得 ax2,a0, 又函数在(0,1)上有最小值, 00; 1 2 当 xe 时,g(x)0, 1 2 当 xe 时,g(x)取得最大值为 g(e )e,ae. 1 2 1 2
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