32.1 常数与幂函数的导数常数与幂函数的导数 32.2 导数公式表导数公式表 学习目标 1.能根据定义求函数 yC，yx，yx2，y 的导数.2.能利用给出的基本初等 1 x 函数的导数公式求简单函数的导数 知识点一 常数与幂函数的导数 原函数导函数 f(x)C f(x)_ f(x)x f(x)_ f(x)x2 f(x)_ f(x) 1 x f(x)_ 知识点二 基本初等函数的导数公式表 原函数导函数 f(x)C(C 为常数) f(x)_ f(x)xu f(x)_(x0，u0) f(x)sin x f(x)_ f(x)cos x f(x)_ f(x)ax f(x)_(a0，a1) f(x)ex f(x)_ f(x)logax f(x)_(a0，a1，x0) f(x)ln x f(x)_ 类型一 利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数 (1)yx12；(2)y；(3)y； 1 x4 5 x3 (4)y2sin cos ；(5)ylog x；(6)y3x. x 2 x 2 1 2 反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行 化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导 跟踪训练 1 给出下列结论： (cos x)sin x； (sin )cos ； 3 3 若 f(x)，则 f(3)； 1 x2 2 27 (2ex)2ex； (log4x)； 1 xln 4 (2x)2x. 其中正确的有_个 类型二 导数公式的综合应用 命题角度 1 利用导数公式解决切线问题 例 2 已知点 P(1,1)，点 Q(2,4)是曲线 yx2上两点，是否存在与直线 PQ 垂直的切线，若 有，求出切线方程，若没有，说明理由 引申探究 若本例条件不变，求与直线 PQ 平行的曲线 yx2的切线方程 反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用：(1)切点处的导数是切线的斜 率(2)切点在切线上(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决 跟踪训练 2 已知两条曲线 ysin x，ycos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这 一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由 命题角度 2 利用导数公式求最值问题 例 3 求抛物线 yx2上的点到直线 xy20 的最短距离 跟踪训练 3 已知直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A、B 两点，O 是坐标原点，试 求与直线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧上求一点 P，使ABP 的面积最大 A AOB 1下列结论： (sin x)cos x；()； 5 3 x 2 3 x (log3x)；(ln x) . 1 3ln x 1 x 其中正确的有( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 2函数 f(x)，则 f(3)等于( ) x A. B0 C. D. 3 6 1 2 x 3 2 3设函数 f(x)logax，f(1)1，则 a_. 4求过曲线 ysin x 上的点 P( ， )且与在这一点处的切线垂直的直线方程 6 1 2 5求下列函数的导数： (1)ycos ；(2)y；(3)y； 6 1 x5 x2 x (4)ylg x；(5)y5x；(6)ycos( x) 2 1利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数 公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求 y12sin2的导数因为 y12sin2cos x， x 2 x 2 所以 y(cos x)sin x. 3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化 答案精析答案精析 知识梳理 知识点一 0 1 2x 1 x2 知识点二 0 uxu1 cos x sin x axln a ex 1 xln a 1 x 题型探究 例 1 解 (1)y(x12)12x12112x11. (2)y(x4)4x41 4x5. 4 x5 (3)y()(x ) x 1 5 x3 3 5 3 5 3 5 x . 3 5 2 5 3 55x2 (4)y2sin cos sin x， x 2 x 2 ycos x. (5)y(log x). 1 2 1 xln 1 2 1 xln 2 (6)y(3x)3xln 3. 跟踪训练 1 3 解析 因为(cos x)sin x， 所以错误； 因为 sin ，而()0， 3 3 2 3 2 所以错误； 因为 f(x)()(x2)2x3，则 f(3)，所以正确； 1 x2 2 27 因为(2ex)2ex，所以正确； 因为(log4x)，所以正确； 1 xln 4 因为(2x)2xln 2，所以错误 例 2 解 因为 y(x2)2x，假设存在与直线 PQ 垂直的切线 设切点坐标为(x0，y0)，由 PQ 的斜率为 k1， 41 21 又切线与 PQ 垂直， 所以 2x01，即 x0 ， 1 2 所以切点坐标为( ， ) 1 2 1 4 所以所求切线方程为 y (1)(x )， 1 4 1 2 即 4x4y10. 引申探究 解 因为 y(x2)2x， 设切点为 M(x0，y0)， 则 y|xx02x0. 又因为 PQ 的斜率为 k1， 41 21 而切线平行于 PQ，所以 k2x01， 即 x0 . 1 2 所以切点为 M( ， )， 1 2 1 4 所以所求切线方程为 y x ， 1 4 1 2 即 4x4y10. 跟踪训练 2 解 设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为 k1y|xx0cos x0，k2y|xx0 sin x0. 要使两切线垂直， 必须有 k1k2cos x0(sin x0)1， 即 sin 2x02，这是不可能的 所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直 例 3 解 依题意知，抛物线 yx2与直线 xy20 平行的切线的切点到直线 xy20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x ) 2 0 y(x2)2x，2x01，x0 ， 1 2 切点坐标为( ， )， 1 2 1 4 所求的最短距离为 d. |1 2 1 42| 2 7 2 8 跟踪训练 3 解 设 M(x0，y0)为切点，过点 M 与直线 l 平行的直线斜率为 k y2x0， k2x02，x01，y0 1， 故可得 M(1,1)， 切线方程为 2xy10. 由于直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A、B 两点， |AB|为定值，要使ABP 的面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大， 故点 M(1,1)即为所求弧上的点，使ABP 的面积最大 AOB 当堂训练 1C (x ) x ；(log3x)， 5 3 5 3 2 3 1 xln 3 错误，故选 C. 2A 根据导数的定义， 可得 f(x)， 1 2 x f(3). 1 2 3 3 6 3. 1 e 解析 f(x)， 1 xln a 则 f(1)1，a . 1 ln a 1 e 4解 曲线 ysin x 在点 P( ， )处的切线斜率 6 1 2 为 ky|x cos ， 6 6 3 2 则与切线垂直的直线的斜率为， 2 3 3 所求直线方程为 y (x )， 1 2 2 3 3 6 即 12x18y290. 33 5解 (1)y0. (2)yx5， 1 x5 y(x5)5x6. 5 x6 (3)yx ， x2 x 3 2 y(x ) x . 3 2 3 2 1 2 3 2 x (4)y. 1 xln 10 (5)y5xln 5. (6)ycos( x)sin x， 2 y(sin x)cos x.