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对应学生用书P33 考情分析 通过对近几年新课标区高考试题的分析可见,高考对本讲知识的考查,主 要是以参数方程为工具,考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题 真题体验 1(湖南高考)在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l:Error!Error!(t 为参数)过椭圆 C:Error!Error!( 为参数)的右顶点,则常数 a 的值为_ 解析:由题意知在直角坐标系下,直线 l 的方程为 yxa,椭圆的方程为 1,所以其右顶点为(3,0)由题意知 03a,解得 a3. x2 9 y2 4 答案:3 2(陕西高考)如图,以过原点的直线的倾斜角 为参数,则圆 x2y2x0 的参数方程为_ 解析:由三角函数定义知 tan (x0),yxtan , y x 由 x2y2x0 得,x2x2tan2x0,xcos2, 1 1tan2 则 yxtan cos2tan sin cos , 又 时,x0,y0 也适合题意,故参数方程为Error!Error!( 为参数) 2 答案:Error!Error!( 为参数) 3(新课标全国卷)已知动点 P,Q 都在曲线 C:Error!Error!(t 为参数)上,对 应参数分别为 t 与 t2(02),M 为 PQ 的中点 (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐 标原点 解:(1)依题意有 P(2cos ,2sin ),Q(2cos 2,2sin 2), 因此 M(cos cos 2,sin sin 2) M 的轨迹的参数方程为Error!Error!( 为参数,02) (2)M 点到坐标原点的距离 d(02) x2y222cos 当 时,d0,故 M 的轨迹过坐标原点 对应学生用书P33 曲线的参数方程与普通方程的互化 1.消参的常用方法 (1)代入消参法,是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用 x(或 y, 或 x,y)表示参数的式子,把其代入参数方程中达到消参的目的 (2)整体消参法,是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达 到消参的目的,此时常用到一些桓等式,如 sin2cos21,sec2tan21, 224 等 (t 1 t) (t 1 t) 2消参的注意事项 (1)消参时,要特别注意参数的取值对变量 x,y 的影响,否则易扩大变量的 取值范围 (2)参数方程中变量 x,y 就是参数的函数,可用求值域的方法确定变量 x,y 的取值范围 例 1 参数方程Error!Error!表示的曲线是什么? ( 2 2) 解 化为普通方程是:x2y225, , 2 2 0x5,5y5. 表示以(0,0)为圆心,5 为半径的右半圆 例 2 将参数方程Error!Error!(t 为参数)化为普通方程 解 由 x t1 得 t (x1),代入 yt21,得 y(x1)21,即为 3 5 5 3 25 9 所求普通方程. 直线的参数方程及其应用 1直线参数方程的标准形式 直线参数方程的一般形式为Error!Error!(t 为参数),只有当 b0,a2b21 时, 上述方程组才为直线的参数方程的标准形式,直线经过的起点坐标为 M0(x0,y0), 直线上另外两点 M1(x1,y1),M2(x2,y2)对应的参数分别为 t1,t2,这时就有 |M0M1|t1|,|M0M2|t2|,|M1M2|t1t2|. 2直线参数方程的应用 直线的参数方程应用十分广泛,特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时, 可以利用参数的几何意义和弦长公式求解,这样可以避免因运用直线和圆锥曲 线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算,从而简化解题过程,优化解题 思路 3应用直线的参数方程求弦长的注意事项 (1)直线的参数方程应为标准形式 (2)要注意直线倾斜角的取值范围 (3)设直线上两点对应的参数分别为 t1,t2. (4)套公式|t1t2|求弦长 例 3 已知点 P(3,2)平分抛物线 y24x 的一条弦 AB,求弦 AB 的长 解 设弦 AB 所在的直线方程为 Error!Error!(t 为参数), 代入方程 y24x 整理得: t2sin24(sin cos )t80. 因为点 P(3,2)是弦 AB 的中点,由参数 t 的几何意义可知,方程的两个实 根 t1,t2满足关系 t1t20. 即 sin cos 0. 因为 0,所以 . 4 |AB|t1t2| t1t224t1t2 8. 4 8 sin2 4 曲线的参数方程及其应用 圆心为(a,b),半径为 r 的圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为Error!Error!( 为 参数); 长半轴为 a,短半轴为 b,中心在原点的椭圆1(ab0)的参数方 x2 a2 y2 b2 程为Error!Error!( 为参数),圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围 等问题中有着广泛的应用,利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函 数的最值问题,利用三角函数的变换公式可以简化计算,从而避免了繁杂的代 数运算 例 4 (新课标全国卷)已知曲线 C:1,直线 l:Error!Error!(t 为参数) x2 4 y2 9 (1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30的直线,交 l 于点 A,求|PA|的 最大值与最小值 解 (1)曲线 C 的参数方程为Error!Error!( 为参数) 直线 l 的普通方程为 2xy60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ,3sin )到 l 的距离为 d|4cos 3sin 5 5 6|. 则|PA|5sin()6|, d sin 30 2 5 5 其中 为锐角,且 tan . 4 3 当 sin()1 时,|PA|取得最大值, 最大值为. 22 5 5 当 sin()1 时,|PA|取得最小值,最小值为. 2 5 5 对应学生用书P37 (时间:90 分钟,总分 120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1已知曲线的方程为Error!Error!(t 为参数),则下列点中在曲线上的是( ) A(1,1) B(2,2) C(0,0) D(1,2) 解析:当 t0 时,x0 且 y0.即点(0,0)在曲线上 答案:C 2直线 xy0 被圆Error!Error!( 为参数)截得的弦长是( ) A3 B6 C2 D. 33 解析:圆的普通方程为 x2y29,半径为 3,直线 xy0 过圆心,故所 得弦长为 6. 答案:B 3点 P(1,0)到曲线Error!Error!(其中 t 为参数且 tR)上的点的最短距离为( ) A0 B1 C. D2 2 解析:点 P 与曲线Error!Error!(tR)上的点之间的距离 d x12y02 t211. t2122t2 答案:B 4参数方程Error!Error!( 为参数)所表示的曲线为( ) A抛物线的一部分 B一条抛物线 C双曲线的一部分 D一条双曲线 解析:xy2cos2sin21,即 y2x1. 又 xcos20,1,ysin 1,1, 为抛物线的一部分 答案:A 5当参数 变化时,动点 P(2cos ,3sin )所确定的曲线必过( ) A点(2,3) B点(2,0) C点(1,3) D点(0, ) 2 解析:令 x2cos ,y3sin ,则动点(x,y)的轨迹是椭圆: 1,曲线过点(2,0) x2 4 y2 9 答案:B 6已知三个方程:Error!Error!Error!Error! Error!Error!(都是以 t 为参数)那么表示同一曲线的方程是( ) A B C D 解析:的普通方程都是 yx2,但中 x 的取值范围相同,都是 xR,而中 x 的取值范围是1x1. 答案:B 7直线Error!Error!(t 为参数)上与点 P(2,3)的距离等于的点的坐标是( ) 2 A(4,5) B(3,4) C(3,4)或(1,2) D(4,5)或(0,1) 解析:可以把直线的参数方程转化成标准式,或者直接根据直线参数方程 的非标准式中参数的几何意义可得|t|,可得 t,将 t 22 222 2 2 代入原方程,得Error!Error!或Error!Error!所以所求点的坐标为(3,4)或(1,2) 答案:C 8(安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建 立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是 Error!Error!(t 为参数),圆 C 的极坐标方程是 4cos ,则直线 l 被圆 C 截得的弦长 为( ) A. B2 1414 C. D2 22 解析:由题意得,直线 l 的普通方程为 yx4,圆 C 的直角坐标方程为 (x2)2y24,圆心到直线 l 的距离 d,直线 l 被圆 C 截得的 |204| 22 弦长为 22. 22 222 答案:D 9已知圆的渐开线Error!Error!( 为参数)上有一个点的坐标为(3,0),则渐开线对 应的基圆的面积为( ) A B3 C6 D9 解析:把已知点(3,0)代入参数方程得Error!Error!由得 tan ,所以 0,代 入得,3r(cos 00),所以 r3,所以基圆的面积为 9. 答案:D 10已知方程 x2axb0 的两根是 sin 和 cos (| ),则点(a,b)的 4 轨迹是( ) A椭圆弧 B圆弧 C双曲线弧 D抛物线弧 解析:由题知Error!Error!即Error!Error! a22b(sin cos )22sin cos 1. 又| . 4 表示抛物线弧 答案:D 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,满分 20 分把答案填写在 题中的横线上) 11若直线 l:ykx 与曲线 C:Error!Error!(参数 R)有唯一的公共点,则实 数 k_. 解析:曲线 C 的普通方程为(x2)2y21, 由题意知,1,k. |2k0| 1k2 3 3 答案: 3 3 12双曲线Error!Error!( 为参数)的渐近线方程为_ 解析:双曲线的普通方程为x21, y2 4 由x20,得 y2x,即为渐近线方程 y2 4 答案:y2x 13已知点 P 在直线Error!Error!(t 为参数)上,点 Q 为曲线Error!Error!( 为参数)上的 动点,则|PQ|的最小值等于_ 解析:直
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