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二圆锥曲线的参数方程 1椭圆的参数方程 对应学生用书P22 椭圆的参数方程 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆1 的参数方程是Error!Error!( 是参 x2 a2 y2 b2 数),规定参数 的取值范围是0,2) (2)中心在(h,k)的椭圆普通方程为1,则其参数方程为 xh2 a2 yk2 b2 Error!Error!( 是参数) 对应学生用书P22 椭圆的参数方程的应用:求最值 例 1 已知实数 x,y 满足1, x2 25 y2 16 求目标函数 zx2y 的最大值与最小值 思路点拨 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式,将问题转化成三 角函数求最值问题 解 椭圆1 的参数方程为Error!Error! x2 25 y2 16 ( 为参数) 代入目标函数得 z5cos 8sin cos(0) 5282 cos(0)(tan 0 ) 89 8 5 所以目标函数 zmin,zmax. 8989 利用椭圆的参数方程,求目标函数的最大(小)值,通常是利用辅助角公式 转化为三角函数求解 1已知椭圆1,点 A 的坐标为(3,0)在椭圆上找一点 P,使点 P x2 25 y2 16 与点 A 的距离最大 解:椭圆的参数方程为Error!Error!( 为参数) 设 P(5cos ,4sin ),则 |PA| 5cos 324sin 29cos230cos 25 |3cos 5|8, 3cos 52 当 cos 1 时,|PA|最大 此时,sin 0,点 P 的坐标为(5,0). 椭圆参数方程的应用:求轨迹方程 例 2 已知 A,B 分别是椭圆1 的右顶点和上顶点,动点 C 在该 x2 36 y2 9 椭圆上运动,求ABC 的重心 G 的轨迹方程 思路点拨 由条件可知,A,B 两点坐标已知,点 C 在椭圆上,故可设出 点 P 坐标的椭圆参数方程形式,由三角形重心坐标公式求解 解 由题意知 A(6,0)、B(0,3)由于动点 C 在椭圆上运动,故可设动点 C 的坐标为(6cos ,3sin ),点 G 的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可 得 Error!Error!即Error!Error! 消去参数 得到(y1)21. x22 4 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数 方程显得很简单,运算更简便 2已知椭圆方程是1,点 A(6,6),P 是椭圆上一动点,求线段 PA x2 16 y2 9 中点 Q 的轨迹方程 解:设 P(4cos ,3sin ),Q(x,y),则有 Error!Error!即Error!Error!( 为参数) 9(x3)216(y3)236,即为所求 3设 F1、F2分别为椭圆 C:1(ab0)的左、右两个焦点 x2 a2 y2 b2 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1,F2的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方 3 2 程和焦点坐标; (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1P 的中点的轨迹方程 解:(1)由椭圆上点 A 到 F1,F2的距离之和是 4, 得 2a4,即 a2. 又点 A(1, )在椭圆上, 3 2 因此 1,得 b23, 1 4 3 2 2 b2 于是 c2a2b21, 所以椭圆 C 的方程为1, x2 4 y2 3 焦点坐标为 F1(1,0),F2(1,0) (2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos ,sin ),线段 F1P 的中点坐标 3 为(x,y),则 x,y, 2cos 1 2 3sin 0 2 所以 x cos ,sin . 1 2 2y 3 消去 ,得(x )21. 1 2 4y2 3 即为线段 F1P 中点的轨迹方程. 椭圆参数方程的应用:证明定值 例 3 已知椭圆y21 上任一点 M(除短轴端点外)与短轴两端点 x2 4 B1、B2的连线分别交 x 轴于 P、Q 两点,求证:|OP|OQ|为定值 思路点拨 利用参数方程,设出点 M 的坐标,并由此得到直线 MB1,MB2的方程,从而得到 P、Q 两点坐标,求出|OP|,|OQ|,再求|OP|OQ| 的值 证明 设 M(2cos ,sin ), 为参数,B1(0,1),B2(0,1) 则 MB1的方程:y1x, sin 1 2cos 令 y0,则 x,即|OP|. 2cos sin 1 | 2cos 1sin | MB2的方程:y1x, sin 1 2cos 令 y0,则 x. 2cos 1sin |OQ|. | 2cos 1sin | |OP|OQ|4. | 2cos 1sin | | 2cos 1sin | 即|OP|OQ|4 为定值 利用参数方程证明定值(或恒成立)问题,首先是用参数把要证明的定值(或 恒成立的式子)表示出来,然后利用条件消去参数,得到一个与参数无关的定值 即可 4曲线Error!Error!(ab0)上一点 M 与两焦点 F1、F2所成角为F1MF2. 求证:F1MF2的面积为 b2tan . 2 证明:M 在椭圆上, 由椭圆的定义,得: |MF1|MF2|2a,两边平方, 得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|4a2. 在F1MF2中,由余弦定理,得|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos |F1F2|24c2. 由两式,得|MF1|MF2|. b2 cos2 2 故 SF1MF2 |MF1|MF2|sin b2tan . 1 2 2 对应学生用书P24 一、选择题 1椭圆Error!Error!( 为参数),若 0,2,则椭圆上的点(a,0)对应的 ( ) A B. 2 C2 D. 3 2 解析:点(a,0)中 xa,aacos ,cos 1,. 答案:A 2把椭圆的普通方程 9x24y236 化为参数方程是( ) A.Error!Error!( 为参数) B.Error!Error!( 为参数) C.Error!Error!( 为参数) D.Error!Error!( 为参数) 解析:把椭圆的普通方程 9x24y236 化为1,则 b2,a3, x2 4 y2 9 其参数方程为Error!Error!( 为参数) 答案:B 3已知椭圆的参数方程Error!Error!(t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t , 3 点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为( ) A. B 3 3 3 C2 D2 33 解析:点 M 的坐标为(1,2), 3 kOM2. 3 答案:C 4两条曲线的参数方程分别是Error!Error!( 为参数)和Error!Error!(t 为参数),则其交 点个数为( ) A0 B1 C0 或 1 D2 解析:由Error!Error! 得 xy10(1x0, 1y2), 由Error!Error!得1.如图所示,可知两 x2 9 y2 4 曲线交点有 1 个 答案:B 二、填空题 5椭圆Error!Error!( 为参数)的离心率为_ 解析:椭圆方程为1,可知 a5,b4, x2 25 y2 16 c3,e . a2b2 c a 3 5 答案: 3 5 6实数 x,y 满足 3x24y212,则 2xy 的最大值是_ 3 解析:因为实数 x,y 满足 3x24y212, 所以设 x2cos ,ysin ,则 3 2xy4cos 3sin 5sin(), 3 其中 sin ,cos . 4 5 3 5 当 sin()1 时,2xy 有最大值为 5. 3 答案:5 7(湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:Error!Error!(t 为参数)与曲线 C2:Error!Error!( 为参数,a0)有一个公共点在 x 轴上,则 a_. 解析:曲线 C1的普通方程为 2xy3,曲线 C2的普通方程为1, x2 a2 y2 9 直线 2xy3 与 x 轴的交点坐标为,故曲线1 也经过这个点,代 ( 3 2,0) x2 a2 y2 9 入解得 a. 3 2(舍去 3 2) 答案: 3 2 三、解答题 8已知两曲线参数方程分别为Error!Error!(0)和Error!Error!(tR),求它们的交 点坐标 解:将Error!Error!(0)化为普通方程得: y21(0y1,x), x2 55 将 x t2,yt 代入得:t4t210, 5 4 5 16 解得 t2 , 4 5 t(yt0),x t2 1, 2 5 5 5 4 5 4 4 5 交点坐标为(1,) 2 5 5 9对于椭圆Error!Error!( 为参数),如果把横坐标缩短为原来的 倍,再把纵坐 1 a 标缩短为原来的 倍即得到圆心在原点,半径为 1 的圆的参数方程Error!Error!( 为参 1 b 数)那么,若把圆看成椭圆的特殊情况,试讨论圆的离心率,并进一步探讨椭 圆的离心率与椭圆形状的关系 解:设圆的参数方程为Error!Error!( 为参数), 如果将该圆看成椭圆, 那么在椭圆中对应的数值分别为 abr, 所以 c0,则离心率 e 0. a2b2 c a 即把圆看成椭圆,其离心率为 0,而椭圆的离心率的范围是(0,1),可见椭 圆的离心率越小即越接近于 0,形状就越接近于圆,离心率越大,椭圆越扁 10椭圆1(ab0)与 x 轴正向交于点 A,若这个椭圆上总存在点 x2 a2 y2 b2 P,使 OPAP(O 为原点),求离心率 e 的取值范围 解:设椭圆的参数方程是Error!Error!( 为参数)(ab0),则椭圆上的点 P(acos ,bsin ),A(a,0) OPAP,1, bsin acos bsin acos a 即(a2b2)cos2a2cos b20. 解得 cos 或 cos 1(舍去) b2 a2b2 ab,1cos 1,01. b2 a2b2 把 b2a2c2代入得 01. a2c2 c2 即 011,解得e1. 1 e2 2 2 故离心率 e 的取值范围为. 2 2 ,1)
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