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2直线的极坐标方程 对应学生用书P8 1直线的极坐标方程 (1)若直线经过点 M(0,0),且极轴到此直线的角为 ,则直线 l 的极坐标 方程为 sin()0sin(0) (2)当直线 l 过极点,即 00 时,l 的方程为 . (3)当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时,l 的方程为 cos_a. (4)当直线 l 过点 M(b, )且平行于极轴时,l 的方程为:sin_b. 2 2图形的对称性 (1)若 ()(),则相应图形关于极轴对称 (2)若 ()(),则图形关于射线 所在直线对称 2 (3)若 ()(),则图形关于极点对称 对应学生用书P8 求直线的极坐标方程 例 1 求从极点出发,倾斜角是 的射线的极坐标方程 4 思路点拨 将射线用集合表示出来,进而用坐标表示 解 设 M(,)为射线上任意一点(如图),则射线就是集合 PError!Error! 将已知条件用坐标表示,得 (0) 4 这就是所求的射线的极坐标方程方程中不含 ,说明射线上点的极坐标 中的 ,无论取任何正值, 的对应值都是 . 4 求直线的极坐标方程,首先应明确过点 M(0,0),且极轴到此直线的角为 的直线极坐标方程的求法另外,还要注意过极点、与极轴垂直和平行的三 种特殊情况的直线的极坐标方程 1求过 A且垂直于极轴的直线的方程 (2, 4) 解:如图所示,在直线 l 上任意取点 M(,),A, (2, 4) |OH|2sin . 42 在 RtOMH 中, |OH|OM|cos , cos ,即 cos , 22 过 A且垂直于极轴的直线方程为 cos . (2, 4)2 2设点 A 的极坐标为,直线 l 过点 A 且与极轴所成的角为 ,求直线 (2, 6) 3 l 的极坐标方程 解:设 P(,)为直线上任意一点(如图) 则 , 3 6 6 , ( 3) 2 3 在OPA 中,有, sin 6 2 sin 2 3 即 sin1. ( 3) 直线的极坐标方程的应用 例 2 在极坐标系中,直线 l 的方程是 sin1,求点 P到 ( 6) (2, 6) 直线 l 的距离 思路点拨 将极坐标问题转化为直角坐标问题 解 点 P的直角坐标为(,1) (2, 6)3 直线 l:sin1 可化为 ( 6) sin cos cos sin 1, 6 6 即直线 l 的直角坐标方程为 xy20. 3 点 P(,1)到直线 xy20 的距离为 33 d1. | 3 32| 1 323 故点 P到直线 sin1 的距离为1. (2, 6) ( 6)3 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等问题,通常是将它们化为直角 坐标方程,在直角坐标系下研究 3(广东高考)在极坐标系中,曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直 角坐标系,则曲线 C1和 C2的交点的直角坐标为_ 解析:由 sin2cos 2sin2cos y2x,又由 sin 1y1,联 立Error!Error!Error!Error!故曲线 C1和 C2交点的直角坐标为(1,1) 答案:(1,1) 4已知直线的极坐标方程为 sin( ),则点 A到这条直线的 4 2 2 (2, 7 4) 距离是_ 解析:点 A的直角坐标为(,) (2, 7 4)22 直线 sin, ( 4) 2 2 即 sin cos cos sin 的直角坐标方程为 4 4 2 2 xy,即 xy1. 2 2 2 2 2 2 点 A(,)到直线 xy10 的距离为 22 d, | 2 21| 11 2 2 故点 A(2,)到直线 sin的距离为. 7 4 ( 4) 2 2 2 2 答案: 2 2 对应学生用书P9 一、选择题 1在极坐标系中,过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) Acos Bsin Ccos 1 Dsin 1 解析:设 P(,)是直线上任意一点,则显然有 cos 1,即为此直线的 极坐标方程 答案:C 27cos 2sin 0 表示( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 解析:两边同乘以 得:7cos 2sin 0. 即 7x2y0,表示直线 答案:A 3极坐标方程 cos (0)表示的曲线是( ) 2 2 A余弦曲线 B两条相交直线 C一条射线 D两条射线 解析:cos , 2 2 2k(kZ) 4 又0, cos 表示两条射线 2 2 答案:D 4过点 A(5,0)和直线 垂直的直线的极坐标方程是( ) 4 Asin Bcos ( 4) 5 2 2 ( 4) 5 2 2 Csin5 Dsin ( 4) ( 4) 5 2 2 解析:因为直线 即直线 yx, 4 所以过点 A(5,0)和直线 垂直的直线方程为 4 yx5,其极坐标方程为 sin. ( 4) 5 2 2 答案:A 二、填空题 5把极坐标方程 cos( )1 化为直角坐标方程是 6 _ 解析:将极坐标方程变为cos sin 1,化为直角坐标方程为 3 2 1 2 x y1,即xy20. 3 2 1 23 答案:xy20 3 6若直线 sin( )与直线 3xky1 垂直,则常数 k_. 4 2 2 解析:直线极坐标方程化为sin cos ,即为 xy10,由 2 2 2 2 2 2 题意知 1,k3. 3 k 答案:3 7在极坐标系中,曲线 C1:(cos sin )1 与曲线 C2:a(a0)的 2 一个交点在极轴上,则 a_. 解析:曲线 C1的直角坐标方程为xy1,曲线 C2的直角坐标方程为 2 x2y2a2,C1与 x 轴的交点坐标为(,0),此点也在曲线 C2上,代入解得 2 2 a. 2 2 答案: 2 2 三、解答题 8求过(2,3)点且斜率为 2 的直线的极坐标方程 解:由题意知,直线的直角坐标方程为 y32(x2), 即:2xy70. 设 M(,)为直线上任意一点, 将 xcos ,ysin 代入直角坐标方程 2xy70 得:2cos sin 70, 这就是所求的极坐标方程 9在极坐标系中,已知圆 O:cos sin 和直线 l: sin.(0,02) ( 4) 2 2 (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)当 (0,)时,求直线 l 与圆 O 的公共点的极坐标 解:(1)圆 O:cos sin ,即 2cos sin , 则圆 O 的直角坐标方程为:x2y2xy0, 直线 l:sin,即 sin cos 1, ( 4) 2 2 则直线 l 的直角坐标方程为:xy10. (2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程, 将两方程联立得Error!Error!解得Error!Error! 即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0,1), 将(0,1)转化为极坐标为,即为所求 (1, 2) 10已知双曲线的极坐标方程为 ,过极点作直线与它交于 3 12cos A、B 两点,且|AB|6. 求直线 AB 的极坐标方程 解:设直线 AB 的极坐标方程为 1. A(1,1),B(2,1), 1,2. 3 12cos 1 3 12cos1 3 12cos 1 |AB|12| , | 3 12cos 1 3 12cos 1| | 6 14cos21| 1,cos 10 或 cos 1 1 14cos21 2 2 故直线 AB 的极坐标方程为 , 或 . 2 4 3 4
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