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21.3 函数的单调性函数的单调性 学习目标 1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间,判断单调性.3.会 用定义证明函数的单调性 知识点一 函数的单调性 思考 画出函数 f(x)x、f(x)x2的图象,并指出 f(x)x、f(x)x2的图象的升降情况如何? 梳理 1.设函数 yf(x)的定义域为 A,区间 MA,如果取区间 M 中的_两个值 x1,x2,改变量_,则当_时,就称函数 yf(x)在区间 M 上 是增函数,如图(1);当_时,就称函数 yf(x)在区间 M 上是减函数,如图 (2) 2如果函数 yf(x)在某个区间 M 上是增函数或是减函数,就说 yf(x)在这个区间 M 上具有 _(区间 M 称为单调区间) 特别提醒:函数单调性定义的理解 (1)任意性,即“任意取 x1,x2” ,不能取两个特殊值 (2)x1,x2有大小,通常规定 xx2x10. (3)x1,x2同属于定义域的某个子区间 知识点二 函数的单调区间 思考 我们已经知道 f(x)x2的减区间为(,0,f(x) 的减区间为(,0),这两个减 1 x 区间能不能交换? 梳理 一般地,有下列常识: (1)函数单调性是对于定义域内的某个区间而言的,即单调区间是定义域内的某个子区间 (2)函数单调性关注的是整个区间上的性质,单独一点不存在单调性问题,所以单调区间的端 点若属于定义域,则该点处区间可开可闭,若区间端点不属于定义域,则只能开 (3)单调区间 D定义域 I. (4)遵循最简原则,单调区间应尽可能大 类型一 求单调区间并判断单调性 例 1 如图是定义在区间5,5上的函数 yf(x),根据图象说出函数的单调区间,以及在每 一单调区间上,它是增函数还是减函数? 反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,单调区间是定义域的子集; 当函数出现两个以上单调区间时,单调区间之间可用“, ”分开,不能用“” ,可以用“和” 来表示;在单调区间 D 上函数要么是增函数,要么是减函数,不能二者兼有 跟踪训练 1 写出函数 y|x22x3|的单调区间,并指出单调性 类型二 证明单调性 命题角度1 证明具体函数的单调性 例 2 证明 f(x)在其定义域上是增函数 x 反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时,应在函数的定义域内给定的区间上任意 取 x1,x2且 x10 时,f(x)1.求证: 函数 f(x)在 R 上是增函数 反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式,所以不能代入求 f(x1)f(x2),但可以借助题目提 供的函数性质来确定 f(x1)f(x2)的大小,这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值 跟踪训练 3 已知函数 f(x)的定义域是 R,对于任意实数 m,n,恒有 f(mn)f(m)f(n),且 当 x0 时,0f(x2)的是( ) Af(x)x2 Bf(x) 1 x Cf(x)|x| Df(x)2x1 4已知函数 yf(x)满足:f(2)f(1),f(1)f(1),则 x 的取值范围是( ) Ax1 C11 1若 f(x)的定义域为 D,AD,BD,f(x)在 A 和 B 上都单调递减,未必有 f(x)在 AB 上 单调递减 2对增函数的判断,当 xx2x10 时,都有 yf(x2)f(x1)0,也可以用一个不等式来 替代: (x1x2)f(x1)f(x2)0 或0.对减函数的判断,当 xx2x10 时,都有 yf(x2) fx1fx2 x1x2 f(x1)0,相应地也可用一个不等式来替代:(x1x2)f(x1)f(x2)0, x1x2 yf(x1)f(x2)0, x1x21 x1x2 故(x1x2)()x2.令 xyx1,yx2,则 xx1x20. yf(x1)f(x2)f(xy)f(y)f(x)f(y)1f(y)f(x)1. x0,f(x)1,f(x)10, f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) 函数 f(x)在 R 上是增函数 方法二 设 x1x2,则 x1x20, 从而 f(x1x2)1, 即 f(x1x2)10. f(x1)fx2(x1x2)f(x2)f(x1x2)1f(x2), 故 f(x)在 R 上是增函数 跟踪训练 3 证明 对于任意实数 m,n,恒有 f(mn)f(m)f(n),令 m1,n0,可得 f(1)f(1)f(0), 当 x0 时,0f(x)1,f(1)0,f(0)1. 令 mx0,nx0, 则 f(mn)f(0)f(x)f(x)1,f(x)f(x)1, 又x0 时,0f(x)1, f(x)1. 1 fx 对任意实数 x,f(x)恒大于 0. 设任意 x10, 0 , 2 3 所求 a 的取值范围是( ,) 2 3 当堂训练 1C 2.C 3.B 4.D 5.C
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