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学习目标 1.通过运用函数的有关知识解决实际生活中的问题,加深对函数概念的理解.2.会 应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.3.了解数学知识来源于生活,又服务于生活 知识点一 常见的函数模型 思考 用函数知识解决实际问题需要用到一些函数模型,常见的函数模型有哪些? 梳理 三类常见函数模型 名称解析式条件 一次函数模型 _函数模型 y b k x k0 二次函数模型 一般式:yax2bxc 顶点式: _ a0 知识点二 函数应用的模型 思考 解决实际问题的基本过程是什么? 梳理 数学模型的基本程序 类型一 一次函数模型的应用 例 1 某地的水电资源丰富,并且得到了较好的开发,电力充足某供电公司为了鼓励居民 用电,采用分段计费的方法来计算电费月用电量 x(千瓦时)与相应电费 y(元)之间的函数关 系如图所示 (1)月用电量为 100 千瓦时时,应交电费多少元? (2)当 x100 时,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3)月用电量为 260 千瓦时时,应交电费多少元? 引申探究 若将例 1(2)中的 x100 去掉,求 y 与 x 的关系式 反思与感悟 一次函数模型的应用层次要求不高,一般情况下按照“问什么,设什么,列什 么”的原则来处理,求解过程也较简单 跟踪训练 1 商店出售茶壶和茶杯,茶壶每个定价 20 元,茶杯每个定价 5 元,该商店现推出 两种优惠办法: (1)买一个茶壶赠送一个茶杯; (2)按购买总价的 92%付款 某顾客需购茶壶 4 个,茶杯若干个(不少于 4 个),若购买茶杯数为 x(个),付款为 y(元),试分 别建立两种优惠办法中 y 与 x 之间的函数关系式,并指出如果顾客需购买茶杯 40 个,应选择 哪种优惠办法? 类型二 二次函数模型的应用 例 2 如图,要建一个长方形养鸡场,鸡场的一边靠墙,如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一 道篱笆隔墙的养鸡场,设它的长度为 x 米要使鸡场面积最大,鸡场的长度应为多少米? 引申探究 若将例 2 改为:要使鸡场面积为,怎样设计可使用的篱笆最短? 625 3 反思与感悟 (1)根据实际问题建立函数解析式(即二次函数关系式) (2)利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求函数的最值,从而解决实际问题 中的最值问题 (3)解答二次函数最值问题最好结合二次函数的图象 跟踪训练 2 据市场分析,烟台某海鲜加工公司,当月产量在 10 吨至 25 吨时,月生产总成 本 y(万元)可以看成月产量 x(吨)的二次函数;当月产量为 10 吨时,月总成本为 20 万元;当 月产量为 15 吨时,月总成本最低为 17.5 万元,为二次函数的顶点 (1)写出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系; (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元,那么月产量为多少时,可获最大利润? 类型三 分段函数模型的应用 例 3 某厂生产某种零件,每个零件的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元,该厂为鼓励销售 订购,决定当一次订购量超过 100 个时,每多订购 1 个,订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元,但实际出厂单价不能低于 51 元 (1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为 51 元? (2)设一次订购量为 x 个,零件的实际出厂单价为 P 元,写出函数 Pf(x)的表达式; (3)当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购 1 000 个,利润又 是多少元? (工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本) 反思与感悟 分段函数模型的求解技巧 (1)在求其解析式时, 应先确定分“段” ,即函数分成几段,并抓住“分界点” ,确保分界点 “不重,不漏” (2)求函数值时,先确定自变量的值所属的区间,再代入;同样,已知函数值,求解自变量的 值时,就是解方程的过程,即每段都令 y 取已知函数值,解出相应 x 的值,再判别是否属于 所在区间 跟踪训练 3 某上市股票在 30 天内每股的交易价格 P(元)与时间 t(天)组成有序数对(t,P), 点(t,P)落在如图中的两条线段上,该股票在 30 天内(包括 30 天)的日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的部分数据如表所示 第 t 天4101622 Q(万股)36302418 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数关系式; (2)根据表中数据确定日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式; (3)在(2)的结论下,用 y(万元)表示该股票日交易额,写出 y 关于 t 的函数关系式,并求出这 30 天中第几日交易额最大,最大值为多少? 1某文体商店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副 20 元,球每只 5 元,该店制订了两种优惠 方法:买一副球拍赠送一只球;按球拍和球的总价的 92%付款某单位计划购买 4 副球 拍和 30 只球,该单位若想更省钱,则应选优惠方法( ) A B C两种一样 D不能确定 2某家具的标价为 132 元,若降价以九折出售(即优惠 10%),仍可获利 10%(相对进货价), 则该家具的进货价是( ) A118 元 B105 元 C106 元 D108 元 3将进货单价为 80 元的商品按 90 元一个售出时,能卖出 400 个,已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就要减少 20 个,为了获得最大利润,每个售价应定为( ) A95 元 B100 元 C105 元 D110 元 4用长度为 24 m 的材料围成一矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则 隔墙的长度为( ) A3 m B4 m C6 m D12 m 解决函数应用问题的一般程序 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系 (2)建模:将文字语言转化成数学语言,选择适当的函数建立函数模型 (3)求模:求解数学模型,得到数学结论 (4)还原:将得到的结论,还原为实际问题的结果 答案精析答案精析 问题导学 知识点一 思考 一次函数、二次函数、反比例函数 梳理 ykxb k0 反比例 ya 2 (x b 2a) 4acb2 4a 知识点二 思考 分析问题,建立函数模型,解决函数问题,回到实际问题 题型探究 例 1 解 (1)月用电量为 100 千瓦时时,应交电费为 60 元 (2)当 x100 时,y 与 x 之间为一次函数关系 设 ykxb,则Error!Error! Error!Error! y x10. 1 2 (3)当 x260 时,y 26010140(元) 1 2 所以月用电量为 260 千瓦时时,应交电费为 140 元 引申探究 解 由函数图象不在同一条直线上,所以选择分段求解 (1)当 0x100 时, 设 ykx,则 60100k,k , 3 5 y x. 3 5 (2)当 x100 时,同上例(2),y x10. 1 2 yError!Error! 跟踪训练 1 解 (1)买 4 个茶壶,送 4 个茶杯,再单买 x4 个茶杯, y5(x4)204(x4), 即 y5x60(x4) 当 x40 时,y54060260(元) (2)只买茶杯, 则 y0.925x,即 y4.6x. 当 x40 时,y4.640184(元) 比较两种方案,可以看出,应选择第(2)种方案更优惠 例 2 解 设鸡场面积为 S. 养鸡场总长为 x,宽为. 50x 3 Sx即 S (x250x) 50x 3 1 3 (x25)2, 1 3 625 3 当 x25 时,Smax. 625 3 即鸡场的长度为 25 米时,面积最大 引申探究 解 长为 x,宽为, 625 3x Lx3,即 lx. 625 3x 625 x 由对勾函数的性质知,Lx在(0,25)上为减函数,在(25,)上为增函数, 625 x 当 x25 时,Lmin252550. 跟踪训练 2 解 (1)由题可设 ya(x15)217.5,将 x10,y20 代入上式, 得 2025a17.5. 解得 a. 1 10 所以 y0.1x23x40(10x25) (2)设最大利润为 Q(x), 则 Q(x)1.6xy 1.6x(0.1x23x40) 0.1(x23)212.9(10x25) 因为 x2310,25, 所以月产量为 23 吨时,可获最大利润 12.9 万元 例 3 解 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为 51 元时,一次订购量为 x0个,则 x0100 550(个)因此,当一次订购量为 550 个时,每个零件的实际出厂价恰好降为 51 6051 0.02 元 (2)当 0x100 时,P60; 当 100x550 时,P600.02(x100)62; x 50 当 x550 时,P51. Pf(x) Error!Error!(xN) (3)设销售商一次订购量为 x 个时,工厂获得的利润为 L 元, 则 L(P40)x Error!Error! 当 x500 时,L6 000;当 x1 000 时,L11 000. 因此,当销售商一次订购 500 个零件时,该厂获得的利润是 6 000 元;如果订购 1 000 个, 利润是 11 000 元 跟踪训练 3 解 (1)由图知该种股票每股交易价格 P(元)与时间 t(天)所满足的函数图象为两 条直线段,且在前 20 天,图象经过点(0,2)和(20,6),后 10 天经过点(20,6)和(30,5),故解析式 为 PError!Error! (2)设 Qatb(a,b 为常数),将(4,36)与(10,30)代入, 得Error!Error!解得 a1,b40. 日交易量 Q(万股)与时间 t(天)的一次函数关系式为 Q40t,0t30,tN. (3)由(1)(2)可得 y Error!Error! 即 y Error!Error! 当 0t20 时,当 t15 时,ymax125; 当 20t30 时,yt212t320 在(20,30上是减函数, 1 10 又当 20t30 时,ymax2021220320120125, 1 10 所以第 15 日交易额最大,最大值为 125 万元 当堂训练 1A 2.D 3.A 4.A
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