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1 函数解析式求解的常用方法 一、换元法 例 1 已知 f(1)x2,求 f(x) xx 分析 采用整体思想,可把 f(1)中的“1”看做一个整体,然后采用另一参数替代 xx 解 令 t1,则 x(t1)2(t1), x 代入原式有 f(t)(t1)22(t1)t21. f(x)x21(x1) 评注 将接受对象“1”换作另一个元素(字母)“t” ,然后从中解出 x 与 t 的关系,代入 x 原式中便求出关于“t”的函数关系,此即为函数解析式,但在利用这种方法时应注意自变量 取值范围的变化,否则就得不到正确的表达式此法是求函数解析式时常用的方法 二、待定系数法 例 2 已知 f(x)为二次函数,且 f(x1)f(x1)2x24x,求 f(x)的表达式 解 设 f(x)ax2bxc(a0),则 f(x1)f(x1) a(x1)2b(x1)ca(x1)2b(x1)c 2ax22bx2a2c 2x24x. 故有Error!Error!解得Error!Error! 所以 f(x)x22x1. 评注 若已知函数是某个基本函数,可设表达式的一般式,再利用已知条件求出系数 三、方程消元法 例 3 已知:2f(x)f( )3x,x0,求 f(x) 1 x 解 2f(x)f( )3x, 1 x 用 去代换式中的 x 得 2f( )f(x) . 1 x 1 x 3 x 由2得 f(x)2x ,x0. 1 x 评注 方程消元法是指利用方程组通过消参、消元的途径达到求函数解析式的目的. 2 解读分段函数 分段函数是一类特殊的函数,有着广泛的应用,课本中并没有进行大篇幅的介绍,但是它是 高考的必考内容,下面就分段函数的有关知识进行拓展,供同学们学习时参考 一、分段函数解读 在定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,相应的对应法则不同,这样的函数称之为分段 函数分段函数是一个函数,而不是几个函数,它只是各段上的解析式(或对应法则)不同而 已 二、常见的题型及其求解策略 1求分段函数的定义域、值域 例 1 求函数 f(x)Error!Error!的值域 解 当 x2 时,yx24x(x2)24,y4; 当 x2 时,y ,y1. x 2 2 2 函数 f(x)的值域是y|y4 解题策略 分段函数的定义域是各段函数解析式中自变量取值集合的并集;分段函数的值域 是各段函数值集合的并集 2求分段函数的函数值 例 2 已知 f(x)Error!Error!求 f(5)的值 解 510,f(5)f(f(56)f(f(11), 1110,f(f(11)f(9), 又910,f(9)f(f(15)f(13)11.即 f(5)11. 解题策略 求分段函数的函数值时,关键是判断所给出的自变量所处的区间,再代入相应的 解析式;另一方面,如果题目中含有多个分层的形式,则需要由里到外层层处理 3画出分段函数的图象 例 3 已知函数 f(x)Error!Error!,作出此函数的图象 解 由于分段函数有两段,所以这个函数的图象应该由两条线组成,一条是抛物线的左侧, 另一条是射线,画出图象如图所示 解题策略 分段函数有几段,其图象就由几条曲线组成,作图的关键是根据定义域的不同分 别由表达式作出其图象,作图时一要注意每段自变量的取值范围,二要注意判断函数图象每 段端点的虚实 4求解分段函数的解析式 例 4 某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间 x(分钟)与相应话费 y(元)之间 的函数图象如图所示则:(1)月通话为 50 分钟时,应交话费多少元;(2)求 y 与 x 之间的函 数关系式 解 (1)由题意可知当 0x100 时,设函数的解析式 ykx,又因过点(100,40),得解析式为 y x,当月通话为 50 分钟时,050100, 2 5 所以应交话费 y 5020 元 2 5 (2)当 x100 时,设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykxb,由图知 x100 时,y40;x200 时,y60. 则有Error!Error!,解得Error!Error!, 所以解析式为 y x20, 1 5 故所求函数关系式为 yError!Error!. 解题策略 以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在试题中,解决此类问题的关 键是正确地理解题目(或图象)给出的信息,确定合适的数学模型及准确的自变量的分界点 3 合理变形突破单调性的证明 由定义证明函数 f(x)在区间 D 上的单调性,其步骤为:取值作差变形定号其中变形 是最关键的一步,合理变形是准确判断 f(x1)f(x2)的符号的关键所在本文总结了用定义证 明函数单调性中的变形策略 一、因式分解 例 1 求证:函数 f(x)x24x 在(,2上是减函数 证明 设 x1,x2是(,2上的任意两个实数,且 x1x2,则 f(x1)f(x2)(x 4x1) 2 1 (x 4x2) 2 2 (x1x2)(x1x24) 因为 x1x22,所以 x1x20,x1x240. 所以 f(x1)f(x2)0, 即 f(x1)f(x2) 故函数 f(x)在(,2上是减函数 评注 因式分解是变形的常用策略,但必须注意,分解时一定要彻底,这样才利于判断 f(x1) f(x2)的符号 二、配方 例 2 求证:函数 f(x)x31 在 R 上是增函数 证明 设 x1,x2是 R 上的任意两个实数,且 x1x2, 则 f(x1)f(x2)x 1x 1 3 13 2 x x 3 13 2 (x1x2)(x x1x2x ) 2 12 2 (x1x2). (x1 x2 2)2 3 4x2 2 因为 x1x2,所以 x1x20, 2 x 0. (x1 x2 2) 3 4 2 2 所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) 故函数 f(x)在 R 上是增函数 评注 本题极易在(x1x2)(x x1x2x )处“止步”而致误而实际上当我们不能直接判断 x 2 12 2 x1x2x 的符号,又不能因式分解时,采用配方则会“柳暗花明” 2 12 2 三、通分 例 3 已知函数 f(x)x ,求证:函数 f(x)在区间(0,1上是减函数 1 x 证明 设 x1,x2是区间(0,1上的任意两个实数,且 x1x2,则 f(x1)f(x2)x1x2 1 x1 1 x2 (x1x2)(x1x2) ( 1 x1 1 x2) x2x1 x1x2 (x1x2)(x1x2). (1 1 x1x2) ( x1x21 x1x2 ) 因为 x1x2,且 x1,x2(0, 1, 所以 x1x20,0x1x21. 所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) 故函数 f(x)在(0,1上是减函数 评注 同样,我们可以证明 f(x)x 在区间1,)上是增函数 1 x 四、有理化 例 4 已知函数 f(x),求证:函数 f(x)在区间1,)上是增函数 x1 证明 设 x1,x2是区间1,)上的任意两个实数,且 x1x2,则 f(x1)f(x2) x11 x21 . x1x2 x11 x21 因为 x1x2,且 x1,x21,), 所以 x1x20,0. x11x21 所以 f(x1)f(x2)0,即 f(x1)f(x2) 故函数 f(x)在1,)上是增函数 评注 对于根式函数常采用分子或分母有理化变形手段以达到判断 f(x1)f(x2)符号的目的 4 谈复合函数的单调性 设 yf(t)是 t 的函数,tg(x)是 x 的函数,若 tg(x)的值域是 yf(t)定义域的子集,则 y 通 过中间变量 t 构成 x 的函数,称为 x 的复合函数,记作 yf(t)f g(x) 如函数 y,若设 t1x,则 y.这里 t 是 x 的函数,y 是 t 的函数,所以 y 1xt 是 x 的复合函数,把 t 称为中间变量 1x 思考 1 已知函数 yf(t)的定义域为区间m,n,函数 tg(x)的定义域为区间a,b,值域 Dm,n若 yf(t)在定义域内单调递增,tg(x)在定义域内单调递增,那么 yfg(x)是 否为a,b上的增函数?为什么? 答 yfg(x)是区间a,b上的增函数 证明如下: 任取 x1,x2a,b,且 x10) 1 t 当 x(,1)时,t 是 x 的减函数,y 是 t 的减函数, 所以(,1)是 y的递增区间; 1 x12 当 x(1,)时,t 是 x 的增函数,y 是 t 的减函数, 所以(1,)是 y的递减区间 1 x12 综上知,函数 y的递增区间为(,1),递减区间为(1,) 1 x12 变式 求 y的单调区间 1 x22x3 解 由 x22x30,得 x1 或 x3, 令 tx22x3(t0),则 y , 1 t 因为 y 在(,0),(0,)上为减函数, 1 t 而 tx22x3 在(,1),(1,1)上为减函数, 在(1,3),(3,)上是增函数,所以函数 y的递增区间为(,1),(1,1), 1 x22x3 递减区间为(1,3),(3,). 5 函数单调性的应用 一、比较大小 例 1 若函数 f(x)x2mxn,对任意实数 x 都有 f(2x)f(2x)成立,试比较 f(1),f(2), f(4)的大小 解 依题意可知 f(x)的对称轴为 x2,f(1)f(5) f(x)在2,)上是增函数, f(2)0,函数 f(x)x3ax 是区间1,)上的单调函数,求实数 a 的取值范围 解 任取 x1,x21,),且 x10. yf(x2)f(x1)(x ax2)(x ax1) 3 23 1 (x2x1)(x x1x2x a) 2 12 2 1x13. 2 12 2 显然不存在常数 a,使(x x1x2x a)恒为负值 2 12 2 又 f(x)在1,)上是单调函数, 必有一个常数 a,使 x x1x2x a 恒为正数, 2 12 2 即 x x1x2x a. 2 12 2 当 x1,x21,)时,x x1x2x 3, 2 12 2 a3.此时,xx2x10,y0, 即函数 f(x)在1,)上是增函数, a 的取值范围是(0,3 四、利用函数单调性求函数的最值 例 4 已知函数 f(x),x1,) x22xa x (1)当 a4 时,求 f(x)的最小值; (2)当 a 时,求 f(x)的最小值; 1 2 (3)若 a 为正常数,求 f(x)的最小值 解 (1)当 a4 时,f(x)x 2,易知,f(x)在1,2上是减函数,在2,)上是增函数, 4 x f(x)minf(2)6. (2)当 a 时,f(x)x2. 1 2 1 2x 易知,f(x)在1,)上为增函数 f(x)minf(1) . 7 2 (3)函数 f(x)x 2 在(0,
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