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第2课时平面与平面垂直学习目标1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解线线垂直,线面垂直和面面垂直的内在联系.知识链接1.直线与平面垂直的判定定理定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直.推论1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面;推论2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.2.直线与平面垂直的性质定义:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直.符号表示:ab.预习导引1.平面与平面垂直的定义如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直.2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直.3.平面与平面垂直的性质定理如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面.要点一平面与平面垂直判定定理的应用例1如图,AB是O的直径,PA垂直于O所在的平面,C是圆周上异于A、B的任意一点,求证:平面PAC平面PBC.证明连接AC,BC,则BCAC,又PA平面ABC,PABC,而PAACA,BC平面PAC,又BC平面PBC,平面PAC平面PBC.规律方法面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.跟踪演练1如图,四棱锥PABCD的底面是正方形,PD底面ABCD,点E在棱PB上,求证:平面AEC平面PDB.证明设ACBDO,连接OE,ACBD,ACPD,PD,BD为平面PDB内两条相交直线,AC平面PDB.又AC平面AEC,平面AEC平面PDB.要点二面面垂直性质定理的应用例2如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面.解已知:,l.求证:l.方法一在内取一点P,作PA垂直与的交线于A,PB垂直与的交线于B,则PA,PB.l,lPA,lPB.又PAPBP,且PA,PB,l.方法二在内作直线m垂直于与的交线,在内作直线n垂直于与的交线,m,n.mn.又n,m.又m,l,ml.l.规律方法面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法,因此,在有面面垂直的条件下,若需要平面的垂线,要首先考虑面面垂直的性质.跟踪演练2如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,平面PAB平面PBC.求证:BCAB.证明在平面PAB内,作ADPB于D.平面PAB平面PBC,且平面PAB平面PBCPB.AD平面PBC.又BC平面PBC,ADBC.又PA平面ABC,BC平面ABC,PABC,又PAADA,BC平面PAB.又AB平面PAB,BCAB.要点三线线、线面、面面垂直的综合应用例3如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,且DAB60,侧面PAD为正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD;(2)求证:ADPB.证明(1)在菱形ABCD中,G为AD的中点,DAB60,BGAD.又平面PAD平面ABCD, 平面PAD平面ABCDAD,BG平面PAD.(2)连接PG,如图,PAD为正三角形,G为AD的中点,PGAD.由(1)知BGAD,PGBGG,AD平面PGB,PB平面PGB,ADPB.规律方法证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点;(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.跟踪演练3如图,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABCBCD90,ABBCPBPC2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:PABD.证明如图,取BC的中点O,连接PO、AO.PBPC.POBC,又侧面PBC底面ABCD,平面PBC平面ABCDBC,PO平面PBC,PO底面ABCD.BD平面ABCD,POBD,在直角梯形ABCD中,易证ABOBCD,BAOCBD,CBDABD90,BAOABD90AOBD,又POAOO,BD平面PAO,又PA平面PAO,BDPA.1.若平面平面,平面平面,则()A. B.C.与相交但不垂直 D.以上都有可能答案D解析以正方体为模型;相邻两侧面都与底面垂直;相对的两侧面都与底面垂直;一侧面和一对角面都与底面垂直,故选D.2.已知l,则过l与垂直的平面()A.有1个 B.有2个C.有无数个 D.不存在答案C解析由面面垂直的判定定理知,凡过l的平面都垂直于平面,这样的平面有无数个.3.已知长方体ABCDA1B1C1D1,在平面AB1上任取一点M,作MEAB于E,则()A.ME平面AC B.ME 平面ACC.ME平面AC D.以上都有可能答案A解析由于ME平面AB1,平面AB1平面ACAB,且平面AB1平面AC,MEAB,则ME平面AC.4.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两垂直C.平面PAB与平面PBC垂直,与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直答案A解析PA平面ABCD,PABC.又BCAB,PAABA,BC平面PAB,BC平面PBC,平面PBC平面PAB.由ADPA,ADAB,PAABA,得AD平面PAB.AD平面PAD,平面PAD平面PAB.由已知易得平面PBC与平面PAD不垂直,故选A.5.下列四个命题中,正确的序号有_.,则;,则;,则;,则.答案解析不正确,当,时,可以平行、相交或垂直.1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:2.运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线,基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
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