资源预览内容
第1页 / 共6页
第2页 / 共6页
第3页 / 共6页
第4页 / 共6页
第5页 / 共6页
第6页 / 共6页
亲,该文档总共6页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
第第 2 课时课时 平面与平面垂直平面与平面垂直 学习目标 1.掌握平面与平面垂直的定义.2.掌握平面与平面垂直的判定与性质定理.3.理解 线线垂直,线面垂直和面面垂直的内在联系. 知识链接 1.直线与平面垂直的判定定理 定理:如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直,则这条直线与这个平面垂直. 推论 1:如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直于这个平面; 推论 2:如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线平行. 2.直线与平面垂直的性质 定义:如果一条直线垂直于一个平面,那么它就和平面内的任意一条直线垂直. 符号表示:Error!Error!ab. 预习导引 1.平面与平面垂直的定义 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直,又这两个平面与第三个平面相交所得的两条 交线互相垂直,就称这两个平面互相垂直. 2.平面与平面垂直的判定定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线,则两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面. 要点一 平面与平面垂直判定定理的应用 例 1 如图,AB 是O 的直径,PA 垂直于O 所在的平面,C 是圆周上异于 A、B 的任意 一点,求证:平面 PAC平面 PBC. 证明 连接 AC,BC,则 BCAC,又 PA平面 ABC, PABC,而 PAACA, BC平面 PAC, 又 BC平面 PBC, 平面 PAC平面 PBC. 规律方法 面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只需转证 线面垂直,关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直. 跟踪演练 1 如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形,PD底面 ABCD,点 E 在棱 PB 上, 求证:平面 AEC平面 PDB. 证明 设 ACBDO,连接 OE, ACBD,ACPD,PD,BD 为平面 PDB 内两条相交直线, AC平面 PDB. 又AC平面 AEC, 平面 AEC平面 PDB. 要点二 面面垂直性质定理的应用 例 2 如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面. 解 已知:,l. 求证:l. 方法一 在 内取一点 P,作 PA 垂直 与 的交线于 A,PB 垂直 与 的交线于 B, 则 PA,PB. l,lPA,lPB. 又 PAPBP,且 PA,PB, l. 方法二 在 内作直线 m 垂直于 与 的交线,在 内作直线 n 垂直于 与 的交线, ,m,n. mn.又 n,m. 又 m,l,ml.l. 规律方法 面面垂直的性质是作平面的垂线的重要方法,因此,在有面面垂直的条件下, 若需要平面的垂线,要首先考虑面面垂直的性质. 跟踪演练 2 如图,在三棱锥 PABC 中,PA平面 ABC,平面 PAB平面 PBC.求证: BCAB. 证明 在平面 PAB 内,作 ADPB 于 D. 平面 PAB平面 PBC, 且平面 PAB平面 PBCPB. AD平面 PBC. 又 BC平面 PBC,ADBC. 又PA平面 ABC,BC平面 ABC, PABC,又 PAADA,BC平面 PAB. 又 AB平面 PAB,BCAB. 要点三 线线、线面、面面垂直的综合应用 例 3 如图所示,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是边长为 a 的菱形,且DAB60, 侧面 PAD 为正三角形,其所在的平面垂直于底面 ABCD. (1)若 G 为 AD 边的中点,求证:BG平面 PAD; (2)求证:ADPB. 证明 (1)在菱形 ABCD 中,G 为 AD 的中点,DAB60, BGAD. 又平面 PAD平面 ABCD, 平面 PAD平面 ABCDAD,BG平面 PAD. (2)连接 PG,如图, PAD 为正三角形,G 为 AD 的中点,PGAD. 由(1)知 BGAD,PGBGG, AD平面 PGB,PB平面 PGB,ADPB. 规律方法 证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面 垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质 定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点;(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一 个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线. 跟踪演练 3 如图,已知四棱锥 PABCD 的底面是直角梯形,ABCBCD90, ABBCPBPC2CD,侧面 PBC底面 ABCD. 证明:PABD. 证明 如图,取 BC 的中点 O, 连接 PO、AO. PBPC. POBC,又侧面 PBC底面 ABCD,平面 PBC平面 ABCDBC,PO平面 PBC, PO底面 ABCD.BD平面 ABCD, POBD,在直角梯形 ABCD 中, 易证ABOBCD, BAOCBD, CBDABD90, BAOABD90 AOBD, 又 POAOO, BD平面 PAO,又 PA平面 PAO,BDPA. 1.若平面 平面 ,平面 平面 ,则( ) A. B. C. 与 相交但不垂直 D.以上都有可能 答案 D 解析 以正方体为模型;相邻两侧面都与底面垂直;相对的两侧面都与底面垂直;一侧面 和一对角面都与底面垂直,故选 D. 2.已知 l,则过 l 与 垂直的平面( ) A.有 1 个 B.有 2 个 C.有无数个 D.不存在 答案 C 解析 由面面垂直的判定定理知,凡过 l 的平面都垂直于平面 ,这样的平面有无数个. 3.已知长方体 ABCDA1B1C1D1,在平面 AB1上任取一点 M,作 MEAB 于 E,则( ) A.ME平面 AC B.ME 平面 AC C.ME平面 AC D.以上都有可能 答案 A 解析 由于 ME平面 AB1,平面 AB1平面 ACAB,且平面 AB1平面 AC,MEAB, 则 ME平面 AC. 4.如图,设 P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA平面 ABCD,则平面 PAB 与平面 PBC、平 面 PAD 的位置关系是( ) A.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直 B.它们两两垂直 C.平面 PAB 与平面 PBC 垂直,与平面 PAD 不垂直 D.平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都不垂直 答案 A 解析 PA平面 ABCD,PABC. 又 BCAB,PAABA, BC平面 PAB,BC平面 PBC, 平面 PBC平面 PAB. 由 ADPA,ADAB,PAABA, 得 AD平面 PAB. AD平面 PAD,平面 PAD平面 PAB. 由已知易得平面 PBC 与平面 PAD 不垂直,故选 A. 5.下列四个命题中,正确的序号有_. ,则 ; ,则 ; ,则 ; ,则 . 答案 解析 不正确,当 , 时, 可以平行、相交或垂直. 1.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了 数学中的化归转化思想,其转化关系如下: 2.运用平面垂直的性质定理时,一般需要作铺助线,基本作法是过其中一个平面内一点作 交线的垂线,这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直.
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号