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www.ks5u.com2.3.2向量数量积的运算律学习目标1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.知识点一平面向量数量积的运算律类比实数的运算律,判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律abbaabba结合律(ab)ca(bc)(ab)ca(bc)分配律(ab)cacbc(ab)cacbc消去律abbc(b0)acabbc(b0)ac知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式乘法的乘法公式,写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca梳理与多次式乘法公式类似,平面向量数量积也有相似公式,应用公式时不要漏写数量积中的点乘符号“”.类型一向量数量积的运算性质例1给出下列结论:若a0,ab0,则b0;若abbc,则ac;(ab)ca(bc);ab(ac)c(ab)0,其中正确结论的序号是_.反思与感悟向量的数量积ab与实数a、b的乘积ab有联系,同时有许多不同之处.例如,由ab0并不能得出a0或b0.特别是向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1设a,b,c是任意的非零向量,且互不平行,给出以下说法:(ab)c(ca)b0;(bc)a(ca)b不与c垂直;(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2.其中正确的是_.(填序号)类型二平面向量数量积有关的参数问题命题角度1已知向量垂直求参数值例2已知两个单位向量a,b的夹角为60,cta(1t)b,且bc,则t_.反思与感悟由两向量垂直求参数一般是利用性质:abab0.跟踪训练2已知向量a(k,3),b(1,4),c(2,1),且(2a3b)c,则实数k等于()A. B.0 C.3 D.命题角度2由两向量夹角的取值范围求参数的取值范围例3已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1ke2与ke1e2的夹角为锐角, 则k的取值范围为_.反思与感悟由两向量夹角的取值范围,求参数的取值范围,一般利用以下结论:对于非零向量a,b,0,)ab0,(,ab0.跟踪训练3设两个向量e1,e2满足|e1|2,|e2|1,e1,e2的夹角为60,若向量2te17e2与e1te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.1.下面给出的关系式中正确的个数是()0a0;abba;a2|a|2;|ab|ab;(ab)2a2b2.A.1 B.2 C.3 D.42.已知|a|1,|b|,且(ab)与a垂直,则a与b的夹角是()A.60 B.30 C.135 D.453.已知平面向量a,b满足|a|3,|b|2,a与b的夹角为60,若(amb)a,则实数m的值为()A.1 B.0 C.2 D.34.已知正三角形ABC的边长为1,设c,a,b,那么abbcca的值是()A. B. C. D.5.已知|a|2,|b|1,(2a3b)(2ab)9.(1)求a与b之间的夹角;(2)求向量a在ab上的正射影的数量.1.数量积对结合律不一定成立,因为(ab)c|a|b|cosa,bc是一个与c共线的向量,而(ac)b|a|c|cosa,cb是一个与b共线的向量,若b与c不共线,则两者不相等.2.在实数中,若ab0,则a0或b0,但是在数量积中,即使ab0,也不能推出a0或b0,因为其中cos 有可能为0.3.在实数中,若abbc,b0,则ac,在向量中,abbc,b0ac.答案精析知识梳理知识点一正确错误正确错误知识点二(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)(ab)a2b2(abc)2a2b2c22ab2bc2ca题型探究例1跟踪训练1例22跟踪训练2C例3(0,1)(1,)跟踪训练3实数t的取值范围是(7,)(,)当堂训练1C2.C3.D4.C5解(1)(2a3b)(2ab)4a24ab3b29,即164ab39,ab1,cos .又0,.(2)|ab|2a22abb27,即|ab|.设a与ab的夹角为,则向量a在ab上的正射影的数量为|a|cos |a|.
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