12.8角平分线的性质,复习提问,点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,步骤：1、 将 AOB对折,得到折痕OC 2、以第一条折痕OC为斜边,再折出一个RtPDO。 然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕OC，PD、 PE,你能得出什么结论?,动手操作,探究1,结论：角平分线上的点到角两边的 相等。,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC 上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,结论：角平分线上的点到角两边的 相等。,距离,角平分线的性质,角平分线上点到角两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),角平分线上点到角两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：,练习,反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？,已知：如图,QDOA，QEOB， 点D、E为垂足，QDQE 求证：点Q在AOB的平分线上,思考,例题讲解,在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D. 求证：AC=BD.,生活中的应用,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在两条公路围成的一块平地上（BAC内）修建一个度假村.要使这个度假村到两条公路的距离相等,应在何处修建?,想一想,如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上（ABC内）修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,提示：一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?,生活中的应用,小 结,一、 证明两边相等的方法有： 二、你还有什么联想？,1. 两个三角形全等 2.等角对等边 3.角平分线的性质,在数学的天地里，重要的不是我们 知道什么，而是我们怎么知道什么。,数学中的一些美丽定理具有这样的 特性：它们极易从事实中归纳出来，但 证明却隐藏的极深 。,启示,如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点 求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,更上一层楼！,，在ABC中， C=90 ，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求BD的长。,，,3.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？,A,B,C,D,E,你会吗？,例 已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,