圆的方程 动画圆.gsp,圆的定义： 平面内与定点的距离等于 定长的点的集合（轨迹）是圆。定点就 是圆心，定长就是半径。,那么如何用数学语言来表达圆呢？,解决方法：找等式， 列方程。,例题：根据圆的定义，我们来求圆心为C（a，b），半径为r的圆的方程。 根据定义,点M到圆心C的 距离等于r，所以圆C就是 集合 P=M| |MC|=r 由两点间的距离公式，点M适合条件可表示为,左右平方得圆的标准方程：,这就是以C（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程。 注意： 1，如果圆心是原点，则圆的标准方程是,2通过标准方程，我们可以很容易知道圆心和半径， 所以当知道圆心和半径可以用标准方程表达出来。 练一练,例题1,例题：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。,分析：所求的圆与直线相切，说明圆心到直线的距离等于半径。通过这个等式我们可以求出半径。再根据圆标准方程的写出所求圆的方程。,解: 已知圆心是c（1,3）那么只要求出圆的半径 r 就能写出圆的方程。,因为圆c和直线3x-4y-7=0相切，所以半径r等于圆心c 到这条直线的距离。根据点到直线的距离公式，得：,因此，所求的圆的方程是 练一练,例题2,例题：已知圆的方程是 求经过圆上一点M（ ， ） 的切线方程。,分析：通过圆的方程我们知道圆心（0，0），半径r，求圆上的切线方程，有三个等式，圆心到直线的距离等于半径，M在切线上，圆心与M的连线垂直于切线。,一起来看看圆与直线的位置变化关系 圆与切线.gsp,这道题当切线斜率不存在的时候，切线的方程是,当切线斜率存在的时候,解： 设切线的斜率为k，半径OM的斜率为,因为圆的切线垂直于过切点的半径,于是 k=,斜率为k，过M点的直线方程是：,化简得切线方程是：,又因为M 在圆上所以切线方程是:,当点M在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用。,验证M在坐标轴上，是否满足切线方程。,斜率不存在的时候，即M在x轴上，M点的坐标为 （ ，0）把M点代入切线方程得：,所以切线方程对于斜率不存在的切线也是适用的。幻灯片 15,即：,又因为M在圆上，所以：,即,也就是,例题3,某桥的桥孔是一个部分圆，该圆跨度 AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需 用一 个支柱支撑。求 的长度（精确到0.01m）例题三.gsp,解：建立坐标系如图所示。圆心在y轴上。设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r。那么圆的方程是,下面用待定系数法确定b和r的值。 因为P，B都在圆上， 所以它们的坐标（0,4）（10,0）都是这个圆的方程的解。 于是得到方程组,解得,所以这个圆的方程是,把 点的横坐标 代入这个圆的方程，得,（因为 的纵坐标 ，所以方根取正值）。于是,答：支柱 的长度约为3.86m。幻灯片 15,练一练,1.写出下列各圆的方程： （1）圆心在原点，半径是3：答案 （2）圆心在点C（3,4），半径是 ：答案 （3）经过点P（5,1），圆心在点C（8，-3）。答案 2. 已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0 相切，求圆的方程。答案,3. 写出过圆 上一点M(2， )的 切线的方程。答案 4 .已知圆的方程是 ，求： （1）斜率等于1的切线的方程答案 （2）在y轴上截距是 的切线的方程。答案,练一练2,1. （1） 圆心（0,0），r=3。 把这a=0,b=0,r=3代入圆的标准方程 得:,1、（2）由题意可得，a=3，b=4，r= 所以代入圆的标准方程得：,1、（3）解： 圆心已知是（8，-3），先求出半径再代入圆的标准方程。已知圆上一点（5，1）， r=5 a=8，b=-3，r=5，,2、由题意知圆心是（0，0），圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，因此,a=0，b=0，r=14，代入圆的标准方程得:,3、第一种方法：OM的斜率,切线的斜率k=,所以切线方程是：,化简后为：,第二种方法：由例2可知，所求切线方程可以用公式,所以切线方程是,4、（1）由题意设切线的方程是x-y=c，圆心到直线的距离是1，由点到直线的距离公式得：,所以我们得到c=,所以所求切线方程是,4、（2）解：设切线的方程为y=kx+ ，圆心到直线的距离是1.,所以切线的方程是,作业,习题7.6 1 （1）（2） 2 （1）（2） 4,谢谢合作！再见！,