初中八年级数学下册第26讲：中位数和众数一：知识点讲解知识点一：中位数 定义：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 意义：中位数是刻画一组数据“中等水平”的一个代表，反映了一组数据的集中趋势，一组数据的中位数是唯一的 求法：1. 把数据由小到大（或由大到小）排列2. 确定这组数据的个数3. 当数据是奇数个时，取最中间的一个数作为中位数；当数据是偶数个时，取最中间两个数的平均数作为中位数例1：求数据2、3、14、16、7、8、10、11、13的中位数例2：10名工人某天生产同一种零件的个数是15、17、14、10、15、19、17、16、14、12。求这一天10名工人生产零件的中位数。知识点二：众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数 意义：众数是刻画一组数据“大多数水平”的重要代表，在我们日常生活中，经常用众数来解决一些实际问题 求法：众数是出现次数最多的数据，而不是出现次数，若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，则这些数据都是众数，故众数可能不止一个。例3：一组数据2、3、x、5、7的平均数是4，则这组数据的众数是 。知识点三：平均数、中位数和众数的综合 平均数 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数。 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算，所以它易受极端值的影响。 中位数 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响，当一组数据中的个别数据变动较大时，一般用中位数来描述数据的集中趋势。 缺点：不能充分地利用各数据的信息。 众数 优点：众数考察的是各数据所出现的频数，其大小只与部分数据相关，当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时，它往往就没有什么特别意义。 三者的联系：平均数、中位数和众数都是描述一组数据的集中趋势的特征数。例4：为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系。某中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，现从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如下表：年收入(万元)22.5345913家庭个数13522111) 求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数？2) 你认为用上题中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由？二：知识点复习知识点一：中位数1. 一次数学测试中，某小组五位同学的成绩分别是110，105，90，95，90，则这五个数据的中位数是（ ）A.90B.95C.100D.1052. 根据PM2.5空气质量标准：24小时PM2.5均值在035(微克/立方米)的空气质量等级为 优。将环保部门对我市PM2.5一周的检测数据制作成如下统计表。这组PM2.5数据的中位数是（ ）天数31111PM2.51820212930A.21微克/立方米B.20微克/立方米C.19微克/立方米D.18微克/立方米知识点二：众数3. 为了帮扶本市一名特困儿童，某班有20名同学积极捐款，他们捐款的数额如下表：捐款的数额(元)205080100人数6743这20名同学捐款的众数是（ ）A.20元B.50元C.80元D.100元4. 某市6月份日平均气温统计如下图所示，则在日平均气温这组数据中，众数和中位数分别是（ ）A.21，21B.21，21.5C.21，22D.22，22知识点三：平均数、中位数和众数的综合5. 阳光小区开展“节约用水，从我做起”的活动，一个月后，社区居委会从小区住户中抽取10个家庭与他们上个月的用水量进行比较，统计出节水情况如下表：节水量(立方米)0.30.40.50.60.7家庭数(个)22411那么这10个家庭的节水量(立方米)的平均数和中位数分别是（ ）A.0.47和0.5B.0.5和0.5C.0.47和4D.0.5和46. 七年级学生完成课题学习“从数据谈节水”后，积极践行“节约用水，从我做起”。下表是从七年级400名学生中选出10名学生统计各自家庭一个月的节水情况：节水量(立方米)0.20.250.30.40.5家庭数(个)12241那么这组数据的众数的平均数分别是（ ）A.0.4和0.34B.0.4和0.3C.0.25和0.34D.0.25和0.37. 在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学习计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如下图所示的统计图。请根据相关信息，解答下列问题：1) 这次调查获取的样本数据的众数是 。2) 这次调查获取的样本数据的中位数是 。3) 若该校共有学生1000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有 人。三：题型分析题型一：平均数、中位数和众数与方程的综合例1：甲、乙、丙、丁四支足球队在世界杯预选赛中进球数分别为9、9、x、7，若这组数据的众数与平均数恰好相等，则这组数据的中位数是（ ）A.10B.9C.8D.7题型二：平均数、中位数和众数与统计图的综合例2：下图是某射击运动员在一次射击训练时10次射击后的成绩(环数)制成的条形统计图，求这10次射击成绩的平均数、众数和中位数。题型三：根据实际问题选择统计量进行合理评估例3：为了从张明、王龙两名学生中选拔一人参加“希望杯”数学竞赛，在相同条件下对他们的数学知识进行了5次测验，成绩如下表：测验次数12345张明92869696100王龙941009290841) 张明同学成绩的众数是多少分？王龙同学成绩的中位数是多少分？2) 分别求出这两名同学成绩的平均分数3) 如果测验分数在95分（含95分）以上为优秀，那么他们的优秀率分别是多少？4) 你认为应选哪名同学去参加“希望杯”数学竞赛？说说你的理由。易错点一：对众数定义的理解有误例4：已知一组数据1、1、2、2、2、3、3、3、3、3、3、5，求这组数据的众数。易错点二：求中位数时忽略数据出现的次数例5：为了增强市民的环保意识，某中学八年级(2)班50名学生在今年6月5日（世界环境日）这一天调查了各自家庭丢弃废旧塑料袋的情况，有关数据如下表：每户丢弃废旧塑料袋的个数2345户数6161513则每天丢弃的废旧塑料袋的中位数是 个。四：习题1：选择题1) 某班七个合作学习小组的人数如下：4、5、5、x、6、7、8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ）A.5B.5.5C.6D.72) 某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如下图，这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（ ）A.10，15B.13，15C.13，20D.15，153) 已知数据：2、1、4、6、9、8、6、1，则这组数据的中位数是（ ）A.4B.6C.5D.4和64) 在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩如下表：成绩454647484950人数124251这次测试成绩的中位数和众数分别为（ ）A.47，49B.47.5，49C.48，49D.48，505) 数据6、5、7.5、8.6、7、6的众数是（ ）A.5B.6C.7D.86) 若一组数据2、3、x、5、7的众数为7，则这组数据的中位数为（ ）A.2B.3C.5D.77) 下图是根据我市某天七个整点时的气温绘制成的统计图，则这七个整点时气温的中位数和平均数分别是（ ）A.30，28B.26，26C.31，30D.26，222：填空题1) 一组数据5、-2、3、x、3、-2，若每个数据都是这组数据的众数，则这组数据的平均数是 。2) 一次体检中，某班学生视力结果如下表：0.7以下0.70.80.91.01.0以上5%8%15%20%40%12%从表中看出全班视力数据的众数是 。3) 某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是 （填“平均数”、“众数”或“中位数”）。4) 七(1)班举行投篮比赛，每人投5球，下图是全班学生投进球数的扇形统计图，则投进球数的众数是 。5) 一个样本为1、3、2、2、a、b、c。已知这个样本的众数为3，平均数为2，则这组数据的中位数为 。3：解答题1) 体育课上，老师为了解女同学定点投篮的情况，随机抽取8名女生进行每人4次定点投篮的测试，及你去数统计如下图所示：1 求女生进球数的平均数、中位数2 投球4次，进球3个以上（含3个）为优秀，全校有女生1200人，估计“优秀”等级的女生约为多少人？2) 我们约定：如果身高在选定标准的范围之内都成为“普通身高”。为了解某校九年级男生中具有“普通身高”的人数，我们从该校九年级男生中随机选出10名男生，分别测量出他们的身高(cm)，收集并整理成如下统计表：男生序号12345678910身高(cm)163171173159161174164166169164根据以上表格信息，解答如下问题：1 计算这组数据的三个统计量：平均数、中位数和众数2 请你选择其中一个统计量作为选定标准，找出这10名男生中具有“普通身高”的是哪几位男生，并说明理由。第 5 页