第二章 二次根式,2.7 二次根式,第1课时 二次根式 及其性质,1,课堂讲解,二次根式的定义 二次根式的性质 最简二次根式,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,观察下列代数式： 可以发现，这些式子我们在前面都已学习过，它们的 共同特征是：都含有开平方运算，并且被开方数都是非负 数.,1,知识点,二次根式的定义,知1讲,形如 (a0)的式子叫做二次根式 其中a为整式或分式，a叫做被开方式 特点：都是形如 的式子， a都是非负数.,知1讲,例1 判断下列各式是否为二次根式，并说明理由,导引：判断一个式子是不是二次根式，实质是看它是否具备二次根 式定义的条件，紧扣定义进行识别 解：(1)不是理由：因为 的根指数是3，所以 不是二次根 式 (2)是理由：因为不论x为何值，都有x210，且 的根指数为2，所以 是二次根式,知1讲,(3)不一定是理由：当5a0，即a0时， 是二次 根式；当a0时，5a0，则 不是二次根 式所以 不一定是二次根式 (4)不是理由： (a0)只能称为含有二次根式的代 数式，不能称为二次根式,（来自点拨）,知1讲,(5)不一定是理由：当a4，即a40时， 是二次根式； 当a4时，(a4)20，所以 不是二次根式所以 不一定是二次根式 (6)是理由：因为x22x2x22x11(x1)210，且 的根指数为2，所以 是二次根式 (7)是理由：因为|x|0，且 的根指数为2，所以 是二次根式,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数,知1讲,例2 当x取怎样的数时，下列各式在实数范围内有意义？ 导引：要使二次根式有意义，则被开方数是非负数 解：(1)欲使 有意义，则必有2x60且x50，所 以x3且 x5. (2)欲使 有意义，则必有x20且5x0，所以 2x5.,（来自点拨）,总 结,知1讲,求式子有意义时字母的取值范围的方法： 第一步，明确式子有意义的条件，对于单个的二次根 式只需满足被开方数为非负数；对于含有多个二次 根式的，则必须满足多个被开方数同时为非负数； 对于零指数，则必须满足底数不能为零 第二步，利用式子中所有有意义的条件，建立不等关 系第三步，由不等关系得出字母的取值范围,1,下列式子一定是二次根式的是( ) (中考武汉)若代数式 在实数范围内有意义， 则x的取值范围是( ) Ax2 Bx2 Cx2 Dx2,知1练,（来自典中点）,2,C,C,2,知识点,二次根式的性质,知2导,做一做 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ （2）根据上面的猜想，估计下面每组两个式子是否相等，借 助计算器验证，并与同伴进行交流.,知识点,知2讲,二次根式的性质： 积的算术平方根，等于_; 商的算术平方根，等于_;,算术平方根的积,算术平方根的商,知识点,知2讲,例3 化简：,（来自教材）,解：,知识点,知2讲,例4 易错题化简： 导引：应用积的算术平方根性质的前提是乘积的算术平方根，如 不是，则需将它们转化为积的形式，其次是每个因数(式) 必须是非负数(1)(2)中被开方数为数，(3)(4)中被开方数 是含有字母的单项式，都可利用 进行化简,知识点,知2讲,解：,（来自点拨）,知识点,知2讲,商的算术平方根再探索 (1)商的算术平方根的性质的实质是逆用二次根式的除法 法则； (2)应用商的算术平方根的前提条件是商中被除式是非负 数，除式是正数； (3)商的算术平方根的性质的作用是化简二次根式，将分 母中的根号化去,知识点,知2讲,分母有理化 (1)定义：化去分母中根号的变形叫做分母有理化； (2)依据：分式的基本性质及 (a0)； (3)方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式,1,(中考荆门)当1a2时，代数式 的值是( ) A1 B1 C2a3 D32a,知2练,（来自典中点）,B,下列结果正确的有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,知2练,（来自典中点）,2,C,3,知识点,最简二次根式,知3讲,1.定义：一般地，被开方数不含分母，也不含能开得 尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二 次根式 最简二次根式必须满足： (1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数 (式)； (2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2， 即每个因数(式)的指数都是1.,知识点,知3讲,2将一个二次根式化简成最简二次根式的方法步骤： (1) “一分”，即利用因数(式)分解的方法把被开方数的分子、 分母都化成质因数(式)的幂的乘积形式； (2) “二移”，即把能开得尽方的因数(式)用它的算术平方根代 替，移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外 时，要注意应写在分母的位置上； (3)“三化”，即将分母有理化化去被开方数中的分母 注意：(1)分母中含有根式的式子不是最简二次根式； (2)去根号时，忽视隐含条件，误将负数移到根号外； (3)去根号后漏掉括号,知识点,知3讲,例5 下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根 式？不是最简二次根式的，请说明理由 解：(1)不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母 (2)是最简二次根式 (3)不是最简二次根式，因为被开方数是小数(即含有分母) (4)不是最简二次根式，因为被开方数24x中含有能开得尽方的 因数4，422. (5)不是最简二次根式，因为x36x29xx(x26x9)x(x 3)2，被开方数中含有能开得尽方的因式 (6)不是最简二次根式，因为分母中有二次根式,（来自点拨）,总 结,知3讲,（来自点拨）,判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：利用 最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断： (1)被开方数不含分母，即被开方数必须是整数(式)； (2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数 中每个因数(式)的指数都小于根指数2；另外还要具 备分母中不含二次根式的条件,知识点,知3讲,例6 化简：,（来自点拨）,若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简,解：,导引：,总 结,知3讲,（来自点拨）,被开方数是数的二次根式的化简技巧： (1)当被开方数是整数时，应先将它分解因数； (2)当被开方数是小数或带分数时，应先将小数化 成分数或带分数化成假分数的形式； (3)当被开方数是整数或分数的和差时，应先将这 个和差的结果求出,1,(中考淮安)下列式子为最简二次根式的是( ) 在下列根式中，不是最简二次根式的是( ),知3练,（来自典中点）,2,A,D,当a0时， 当a0时， 3.,