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一题多解之求轨迹方程常用的基本方法例、由圆外一点引圆的割线交圆于两点,求弦的中点的轨迹方程。思路点拨:(直接法)根据题设条件列出几何等式,运用解析几何基本公式转化为代数等式,从而求出曲线方程。这里考虑在圆中有关弦中点的一些性质,圆心和弦中点的连线垂直于弦,可得下面解法。图1PByxMAO解法1 如图1,设弦的中点的坐标为,连接,则,在中,由两点间的距离公式和勾股定理有整理得 。思路点拨:(定义法)根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程。思路点拨:(交轨法)将问题转化为求两直线的交点轨迹问题。因为动点可看作直线与割线的交点,而由于它们的垂直关系,从而获得解法。解法3 设过点的割线的斜率为则过点的割线方程为:.且过原点,的方程为 这两条直线的交点就是点的轨迹。两方程相乘消去化简,得:其中思路点拨:(参数法)将动点坐标表示成某一中间变量(参数)的函数,再设法消去参数。由于动点随直线的斜率变化而发生变化,所以动点的坐标是直线斜率的函数,从而可得如下解法。解法4 设过点的割线方程为:,它与圆的两个交点为,的中点为.解方程组 利用韦达定理和中点坐标公式,可求得点的轨迹方程为:其中思路点拨:(代点法)根据曲线和方程的对应关系:点在曲线上则点的坐标满足方程。设而不求,代点运算。从整体的角度看待问题。这里由于中点的坐标与两交点通过中点公式联系起来,又点构成4点共线的和谐关系,根据它们的斜率相等,可求得轨迹方程。点评:上述五种解法都是求轨迹问题的基本方法。其中解法1、2、3局限于曲线是圆的条件,而解法4、5适用于一般的过定点且与二次曲线交于两点,求中点的轨迹问题。具有普遍意义,值得重视。对于解法5通常利用可较简捷地求出轨迹方程,比解法4计算量要小,要简捷得多。【针对性练习】1.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且,当点P在y轴上运动时,求点N的轨迹方程解析:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),(x0,y0),(1,y0),(x0,y0)(1,y0)0,x0y0.由得(xx0,y)2(x0,y0),即,x0,即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.2.一动圆与圆x2y26x50外切,同时与圆x2y26x910内切,求动圆圆心M的轨迹方程,并说明它是什么样的曲线3.已知点O(0,0),A(1,2),动点P满足,则P点的轨迹方程是() A4x24y24x8y10 B4x24y24x8y10 C8x28y22x4y50 D8x28y22x4y50来源:学&科&网Z&X&X&K解析:(1)设P点的坐标(x,y),则(x,y),(x1,y2),(2x1,2y2)所以(2x1)2(2y2)24,整理得4x24y24x8y10.4.已知点F(0,1),直线l:y1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂直,垂足为Q,且,则动点P的轨迹C的方程为()Ax24y By23x Cx22y Dy24x6设动点P在直线x10上,O为坐标原点,以OP为直角边,点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ,则动点Q的轨迹是()A椭圆 B两条平行直线 C抛物线 D双曲线解析:设Q(x,y),P(1,a),aR,则有0,且| |,消去a,得x2y21.x2y20,y1.即动点Q的轨迹为两条平行直线y1.答案:B7由抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线,垂足为Q,连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R,则点R的轨迹方程为_解析:设P(x1,y1),R(x,y),则,则直线OP的方程为yx,直线FQ的方程为,由得x1,y1,将其代入y22x,可得y22x2x.即点R的轨迹方程为y22x2x.8点P是圆C:(x2)2y24上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是_
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