第三章 随机事件与概率分布,一、随机事件及概率的一般概念 二、二项分布 三、正态分布 四、正态分布练习题,cqqh,随机事件,了解下列概念： 、随机试验 、随机事件 基本事件、不可能事件、必然事件 、事件的和与事件的积 、互不相容事件与独立事件,返,随机试验,为了探索随机现象的规律性，往往需要对随机现象反复进行观测，而每一次观测被看作是一次试验。如果一次试验满足以下条件，我们就称这样的试验是一个随机试验，简称试验。即： （1）一次试验有多种可能的结果，其所有可能结果又是可知的； （2）试验之前不能预料哪种结果会出现； （3）试验可以在相同条件下重复进行。,返,随机事件,随机试验的某些结果构成的集合叫做随机事件，简称事件。通常用大写英文字母表示。 由于随机现象是在一定条件下可能出现多种不确定结果的现象，因此，对随机事件来说，就是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 几类特殊的事件： 基本事件、不可能事件、必然事件,返,事件的和与事件的积,若干个事件的和依然是一个事件，它表示这若干个事件中至少有一个发生了，A1，A2，Ak这K个事件的和记作为A1+A2+AK；例 若干个事件的积也是一个事件，它表示这若干个事件同时发生了。 A1，A2，Ak这K个事件的积记作为A1A2AK 。 例,返,事件的和之例,例如，掷一颗色子，结果B=“偶数点”是一个随机事件，但是，它是三个随机事件A1=2点，A2=4点，A3=6点的和，可以记作为 B= A1+A2+A3 再如，A、B两位射手同时向一个目标开枪，事件A=“A命中目标”，事件B=“B命中目标”，而事件C=“目标被命中”，那么，C就是事件A和事件B的和，可以记作为C=A+B,返,事件的积之例,例如，同时掷两颗色子，结果C=“两个色子都是一点”，A=“第一颗色子为一点”，B=“第二颗色子为一点”，那么，事件C就是事件A和B的积，可以记作为C=AB 再如，A、B两位射手同时向一个目标开枪，事件A=“A没有命中目标”，事件B=“B没有命中目标”，而事件C=“目标没有被命中”，那么，C就是事件A和事件B的积，可以记作为C=AB,返,互不相容事件与互相独立事件,一组（K个）事件A1，A2，Ak，如果其中任何两个或两个以上事件都不可能同时发生，那么，这一组事件之间的关系就是互不相容的。这一组事件又称为互不相容事件。 一组（K个）事件A1，A2，Ak，如果其中任何一个事件发生与否都与其他事件是否发生毫无关系，那么这一组事件之间的关系就是相互独立的。这一组事件又称为相互独立事件。,返,概率的一般概念,1、概率的定义 2、概率的性质 3、概率的加法定理和乘法定理 4、概率分布,返,概率的定义,1、后验概率 （1）随机事件A在n次试验中出现 m次，m与n的比值，就是事件A出现的频率。 （2）随着试验次数n的无限增大，当n趋向于无穷大时，随机事件A的频率稳定于一个常数P，这个常数P就是随机事件A出现的概率。 2、先验概率（古典概率） （1）古典概率模型要求满足两个条件：其一，试验的所有可能结果是有限的；其二，每一种结果出现的可能性相等。 （2）若所有可能的结果的总数为n，随机事件A包括m个可能结果，则事件A的概率为 P（A）=m/n,返回,概率的性质,任何随机事件A的概率都是在0与1之间的正数。 0P（A）1 不可能事件的概率等于0。 必然事件的概率等于1。 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),返回,概率的加法定理和乘法定理,1、加法定理 两个互不相容事件之和的概率等于这两个事件概率之和。 P（A+B）=P（A）+P（B） 2、乘法定理 两个独立事件积的概率等于这两个事件概率的积。 P（AB）=P（A）P（B）,返回,练习,概率分布,概率分布是统计学中用来描述随机变量的变化规律的理论模型。 依随机变量是否具有连续性来划分，可把概率分布类型分为连续型分布和离散型分布。 离散性变量的概率分布描述出随机变量各种取值出现的可能性。 连续性变量的概率分布则描述出随机变量的取值在某一范围内出现的可能性。 在教育统计中最常用的离散分布是二项分布。 在教育统计中最常用的连续随机变量分布为正态分布。,返回,二项分布,1、二项试验（贝努里试验） 2、二项分布 3、二项分布的性质 4、二项分布的应用,返,二项试验,二项试验又称贝努里试验，即 （1）任何一次试验恰好有两个结果，成功与失败，或A与 （2）共有n次试验，并且n是预先给定的任一正整数。 （3）各次试验相互独立，即各次试验之间无相互影响。 （4）任何一次试验中成功或失败的概率保持不变，即成功的概率在第一次为P（A），在第n次试验中也是P（A），但成功和失败的概率不一定相等。 凡是符合上述要求的试验称为二项试验。,二项分布,二项分布,在n次试验中，成功事件A出现X次的概率分布，其函数为：,性质,二项分布的性质,1、二项分布是离散型分布。 （1）当p=q时，分布图是对称的。 （2）当pq时，分布图呈偏态。当n很大时，二项分布的极限分布是正态分布。一般规定： 当pq且nq5，这时的n就被认为很大，可以用正态分布的概率作为近似值了。 2、二项分布的平均数与标准差,返回,二项分布的应用,二项分布在教育研究中，主要用于解决含有机遇性质的问题。所谓机遇问题，即指在实验或调查中，实验结果可能是由猜测造成。凡此类问题，欲区分由猜测而造成的结果与真实的结果之间的界限，就要应用二项分布来解决。 例1。 例2。,返,例1：有10道选择题，每题有5个答案，其中只有一个是正确的。 （1）试分别计算，如果仅凭猜测，猜对1题、2题、3题、4题、5题、6题、7题、8题、9题、10题的概率。 （2）答对几题才能说不是猜的结果？ （2）解： 根据以上所计算的猜对各题数的概率，可用概率加法求得猜对5题及5题以上的概率为0.03279，不足5%， 故可推论说答对5题以上者可算真会，作此结论仍有3.3%犯错误的可能。,返回,例2：有正误判断题10题,问答题者答对几题才能认为他是真的会，或者说答对几题，才能认为不是出于猜测因素？ 解：此题p=q=1/2, 即猜对猜错的概率各为0.5。np5，故此二项分布接近正态分布： 根据正态分布概率，当Z=1.645时，该点以下包含了全体的95%。如果用原分数表示，则为+1.645=5+1.6451.58=7.6=8 它的意义是，完全凭猜测，10题中猜对8题以下的可能性为95%，猜对8、9、10题的概率只有5%。因此可以推论说，答对8题以上者不是凭猜测，而是会答。但应该明确：作此结论，也仍然有犯错误的可能，即那些完全凭猜测的人也有5%的可能性答对8、9、10道题。,返回,正态分布,1、正态分布的特征 1、正态分布表的编制和使用 3、次数分布是否正态的检验方法 4、正态分布理论在测验上的应用,正态分布的特征,1、正态分布的函数 2、正态分布的形式是对称的，对称轴是过平均数点的垂线。 3、正态分布的中央点最高，然后逐渐两侧下降，曲线的形式是先向内弯，然后向外弯，拐点位于正负1个标准差处，曲线两端向基线处无限延伸，但终不能与基线相交。 4、正态曲线下的面积为1，由于它在平均数处左右对称，故过平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分，即各为0.50。正态曲线下各对应的横坐标处与平均数之间的面积可用积分公式加以计算： 5、正态分布是一族分布。随平均数、标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态。但所有的正态分布都可通过 容易地转换成标准正态分布。 6、在正态分布曲线下，标准差与概率有一定的数量关系。如：正负一个标准差之间，包含总面积的68.268%，等等。,返回,正态分布表的编制与使用,1、了解正态分布表的编制。 2、使用正态表，可以进行以下几个方面的计算： （1）依据Z分数求概率。 （2）从概率求Z分数。 （3）求概率密度y，即正态曲线的高。,返回,次数分布是否正态的检验方法,除了2检验之外，还有一些简单的方法。 1、皮尔逊偏态量数法 SK=0时，分布对称； SK0时，正偏态； SK0时，正偏态； g10时，低阔峰； g20时，高狭峰。 3、累加次数曲线法,返回,正态分布理论在测验上的应用,1、化等级评定为测量数据 2、确定测验题目的难易度 3、在能力分组或等级评定时确定人数 4、T分数或测验分数的正态化,返回,化等级评定为测量数据,例： 3名教师对100名学生的评定结果,各学生所得的评定等级,名学生的平均分数,返回,确定测验题目的难易度,1、计算各题目的通过率，即答对人数与参加测验人数的比例； 2、依通过率查正态表求Z分数，通过率大于50%的Z分数为负值，通过率小于50%的Z分数为正值； 3、将查表得到的Z分数加上5（假定正负5个标准差包括了全体）便可得到从0-10的十进制的难度分数值，这样就有理由认为难度分数是等距的尺度，不同题目之间的难易差异就可以直接比较了。 例。,返回,例,难度分数的计算,例,难度分数的计算,返回,在能力分组或等级评定时确定人数,例：要想把人在某一能力上分成个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？,返回,在能力分组或等级评定时确定人数,例：要想把人在某一能力上分成个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？,返回,T分数或测验分数的正态化,T分数是经过正态化的一种标准分数，其平均数为50，标准差为10，是(W.A.Mccall,1939)创用的方法心理与教育测验常用它来建立常模 例：180名学生的智力测验分数如下表,学生的智力总分布为正态,但随机抽取的这180人,测得智力分数分布不是正态,需将其正态化,使之更符合正态总体的情况.,返回,T分数或测验分数的正态化,T分数是经过正态化的一种标准分数，其平均数为50，标准差为10，是(W.A.Mccall,1939)创用的方法心理与教育测验常用它来建立常模 例：180名学生的智力测验分数如下表,学生的智力总分布为正态,但随机抽取的这180人,测得智力分数分布不是正态,需将其正态化,使之更符合正态总体的情况.,返回,1.4991 -2.4087,概率练习1,全班50名学生中，男生30人，女生20人。语文老师和数学老师分别用抽签的方法产生了各自的课代表1人（两门课的课代表可以由同一位同学兼任）。求： （1）“两位课代表都是男同学”的概率。 （2）“两位课代表都是女同学”的概率。 （3）“两位课代表中有一位是男同学，另一位是女同学”的概率。,返回,概率练习2,命中率分别为P（A）=0.9、P（B）=0.8的两位射手同时向一个目标开枪，目标被命中的概率等于多少？,返回,正态分布练习1,全区物理统考，考生成绩呈正态分布。已知考生的平均成绩为70分，标准差为10。一名教师对学生进行等级评定，他把240个得分在68-72分的学生评为“及格”。请问：这次考试共有多少名学生参加？,正态分布练习2,全区物理统考，考生成绩呈正态分布。一名教师按照考生的成绩对他们进行等级评定，将他们的成绩评为“优、良、中、差”四个等级。已知有13%的考生被评为“优”，20%的考生被评为“良”，得分在68-72分的考生被评为“中”，还有17%的考生被评为“差”。请问：这次考试的平均成绩和标准差各是多少？,正态分布练习3,某年高考，全体考生的数学平均分为70，标准差为10。现随机抽取一名考生，他的数学成绩与全体考生数学平均分的差在1分以上的可能性有多大？ （思考：若随机从全体考生中抽出400名考生，他们的数学平均分与全体考生数学平均分的差在1分以上的可能性有多大？）,返回第四章,补充作业1,今有一四择一选择测验题100题，问答对多少题才能说是真的会答而不是猜测？,补充作业2,设某城市大学录取率是40%，求20个参加高考的中学生中至少有10人被录取的概率。,