北师大版八年级(下),1.4角平分线,第一章 三角形的证明,第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理,复习旧知,三角形三边垂直平分线定理：,三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。,情景引入,角平分线上的点有什么性质？你是怎样得到 的？,A,O,B,新知探究,、证明：角平分线上的点到这个角的两边的距 离相等。,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC 上，PDOA于D， PEOB于E。,求证：PD=PE。,证明：, OC是AOB的平分线, 1=2, PDOA， PEOB, PDO=PEO=90,在PDO和PEO中,1=2,PDO=PEO,PO=PO,PDOPEO,PD=PE,新知归纳,角平分线性质定理：,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,合作交流,、你能写出定理“角平分线上的点到这个角的 两边的距离相等。”的逆命题吗？,改写成“如果，那么”的形式：,如果一个点是角平分线上的点，那么这个点 到角的两边的距离相等。,逆命题为：,如果一个点到角的两边距离相等，那么这个 点在这个角的平分线上。,、怎样证明“在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上”呢？,新知探究,已知：如图，点P在AOB内部，PDOA于D， PEOB于E，且PD=PE。,求证：点P在AOB的平分线上。,证明：, PDOA， PEOB, PDO=PEO=90,在RtPDO和Rt PEO中,PD=PE,PO=PO, Rt PDO RtPEO,POD=POE,过点P作射线 OC,即点P在AOB的平分线上,新知归纳,角平分线判定定理：,在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,范例讲解,例1、已知：如图，ABC中，BAC=60， 点D在BC上，AD=10，DEAB，DFAC，垂 足分别为E、F，且DE=DF，求DE的长。,合作交流,、你会用尺规作角的平分线吗？,作法：,1、 在OA、OB上分别截取OD=OE；,3、作射线OC。,已知：如图，AOB。,求作：射线OC，使AOC= AOB。,2、分别以点D、E为圆心，大于 DE的长为半 径作弧，两弧在内部交于点C；,C,射线OC就是AOB的平分线。,你会证明吗？,1. (凉山中考）已知：AOB，求作AOB的角平分线；根据图示，填写作法： . . .,A,B,O,M,N,C,【解析】由图示写出作法即可. 以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于M、N； 分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在AOB内部交于点C； 画射线OC，射线OC即为所求的角平分线.,A,B,O,M,N,C,2.（河源中考）如图，RtABC中，C90，A 60，AC2按以下步骤作图： 以A为圆心，以小于AC长为半径画弧，分别交AC、AB于 点E、D； 分别以D、E为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧 相交于点P； 连接AP交BC于点F 那么：(1)AB的长等于_ (直接填写答案)； (2)CAF_(直接填写答案),A,B,C,D,E,F,P,【解析】C90，BAC60, B90BAC30, AB2AC4, AF平分BAC， CAF30. 答案：（1）4 （2）30,3. 如图，已知：ADOB于D，BCOA于C，AD、BC相交于E，且EA=EB. 求证：EO为AOB的平分线,【证明】ADOB,BCOA, BDEACE90, 又BEDAEC,EBEA, BDEACE. DE=CE. EO为AOB的平分线.,课堂小结,1、角平分线性质定理：,角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,2、角平分线判定定理：,在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,