第 3 章 概率与概率分布,3.1 随机事件及其概率 3.2 随机变量及其概率分布 3.3 大数定律与中心极限定理,学习目标,理解随机事件的概念、了解事件之间的关系 理解概率的三种定义，掌握概率运算的法则 理解随机变量及其概率分布的概念 掌握二项分布、泊松分布和超几何分布的背景、均值和方差及其应用 掌握正态分布的主要特征和应用，了解均匀分布的应用 理解大数定律和中心极限定理的重要意义,3.1 随机事件及其概率,一、随机试验与随机事件 二、随机事件的概率 三、概率的运算法则,一、随机试验与随机事件,3.1 随机事件及其概率,必然现象与随机现象,必然现象（确定性现象） 变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导致某一结果 这种关系通常可以用公式或定律来表示 随机现象（偶然现象、不确定现象） 在一定条件下可能发生也可能不发生的现象 个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定 大量观察的结果会呈现出某种规律性 （随机性中寓含着规律性） 统计规律性,十五的夜晚能看见月亮？,十五的月亮比初十圆！,随机试验,严格意义上的随机试验满足三个条件： 试验可以在系统条件下重复进行； 试验的所有可能结果是明确可知的； 每次试验前不能肯定哪一个结果会出现。 广义的随机试验是指对随机现象的观察（或实验）。 实际应用中多数试验不能同时满足上述条件，常常从广义角度来理解。,随机事件（事件）,随机事件（简称事件） 随机试验的每一个可能结果 常用大写英文字母A、B、 、来表示 基本事件（样本点） 不可能再分成为两个或更多事件的事件 样本空间（） 基本事件的全体（全集）,随机事件（续）,复合事件 由某些基本事件组合而成的事件 样本空间中的子集 随机事件的两种特例 必然事件 在一定条件下，每次试验都必然发生的事件 只有样本空间 才是必然事件 不可能事件 在一定条件下，每次试验都必然不会发生的事件 不可能事件是一个空集（）,二、随机事件的概率,3.1 随机事件及其概率,1. 古典概率 2. 统计概率 3. 主观概率 4. 概率的基本性质,随机事件的概率,概率 用来度量随机事件发生的可能性大小的数值 必然事件的概率为1，表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零，P( )=0 随机事件A的概率介于0和1之间，0P(A)1 概率的三种定义，给出了确定随机事件概率的三条途经。,概率的古典定义,古典概型（等可能概型） 具有以下两特点 每次试验的可能结果有限（即样本空间中基本事件总数有限） 每个试验结果出现的可能性相同 它是概率论的发展过程中人们最早研究的对象,概率的古典定义,概率的古典定义 前提：古典概型 定义（公式）,计算古典概率常用到排列组合知识,【例3-1】,设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，求抽到的两件产品均为合格品的概率是多少？抽到的两件产品均为次品的概率又是多少？ 解：任一件被抽到的机会均等，而且从50件产品中抽出2件相当于从50个元素中取2个进行组合，共有C502种可能，所以这是一个古典概型。,概率的统计定义,当试验次数 n 很大时，事件A发生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而缩小，则定义 p 为事件A发生的概率,当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其概率的一个近似值计算概率的统计方法（频率方法）,例（补充）,根据古典概率定义可算出，抛一枚质地均匀的硬币，出现正面与出现反面的概率都是0.5。历史上有很多人都曾经做过抛硬币试验。,【例3-2】,某地区几年来新生儿性别的统计资料如下表所示，由此可判断该地区新生儿为男婴的概率是多少？,3. 主观概率,有些随机事件发生的可能性，既不能通过等可能事件个数来计算，也不能根据大量重复试验的频率来近似 主观概率依据人们的主观判断而估计的随机事件发生的可能性大小 例如某经理认为新产品畅销的可能性是80 人们的经验、专业知识、对事件发生的众多条件或影响因素的分析等等，都是确定主观概率的依据,4. 概率的基本性质,非负性： 对任意事件A，有 0 P(A) 1。 规范性： 必然事件的概率为1，即： P()=1 不可能事件的概率为0 ，即：P()=0。 可加性： 若A与B互斥，则：P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) 对于多个两两互斥事件A1，A2，An，则有： P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ) 上述三条基本性质，也称为概率的三条公理。,(补充）关于概率的公理化定义,概率的以上三种定义，各有其特定的应用范围，也存在局限性，都缺乏严密性。 古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性 统计定义要求试验次数充分大，但试验次数究竟应该取多大、频率与概率有多么接近都没有确切说明 主观概率的确定又具有主观随意性 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化定义 通过规定应具备的基本性质来定义概率 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础。,三、概率的运算法则,3.1 随机事件及其概率,1. 加法公式 2. 乘法公式 3. 全概率公式和贝叶斯公式,1. 加法公式,用于求P(AB)“A发生或B发生”的概率 互斥事件（互不相容事件） 不可能同时发生的事件 没有公共样本点,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ),互斥事件的加法公式,P ( A1A2 An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + + P (An ),【例3-3】,设有50件产品，其中有5件次品，现从这50件中任取2件，若问至少抽到一件次品的概率？ 解：“至少抽到一件次品”这一事件实质上就是“抽取的2件产品中有一件次品”（记为A）与“抽取的两件产品均为次品”（记为B）这两个事件的和。由于A与B是两个互斥事件，故计算 “至少抽到一件次品”的概率采用公式： P(AB) =P(A)+P(B),互补事件,互补事件 不可能同时发生而又必然有一个会发生的两个事件 互补事件的概率之和等于1,A,A,例如：掷一个骰子，“出现2点”的概率是1/6，则“不出现2点”的概率就是5/6 。,相容事件的加法公式,相容事件 两个事件有可能同时发生 没有公共样本点 相容事件的加法公式 （广义加法公式 ）,P ( AB ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB ),事件的积（交）AB,事件的和（并）,【例3-4】,将分别写有0至9这十个号码的小球装入一容器中，反复搅拌之后任意摇出一个小球，观察其号码。试求出现“奇数或大于等于4的数”的概率。 解：所求事件 奇数(A)大于等于4的数(B) 0,1,2,3,9，A1,3,5,7,9，B4,5,6,7,8,9 由于等可能性，P(A)=5/10, P(B) =6/10。P(A)+P(B) 1 ,显然P(AB) P(A)P(B) 因为A和B存在共同部分AB5,7,9，P(AB)3/10。在P(A)+P(B) 中P(AB) 被重复计算了。 正确计算是： P(AB)5/106/103/108/100.8,2. 乘法公式,用于计算两个事件同时发生的概率。 也即 “A发生且B发生”的概率 P(AB) 先关注事件是否相互独立,（1）条件概率,条件概率在某些附加条件下计算的概率 在已知事件B已经发生的条件下A发生的条件概率P(A|B) 条件概率的一般公式：,其中 P(B) 0,【例3-5】,某公司甲乙两厂生产同种产品。甲厂生产400件，其中一级品为280件；乙厂生产600件，其中一级品有360件。若要从该厂的全部产品中任意抽取一件，试求：已知抽出产品为一级品的条件下该产品出自甲厂的概率；已知抽出产品出自甲厂的条件下该产品为一级品的概率。 解：设A“甲厂产品”，B“一级品”，则： P(A)0.4， P(B) 0.64，P(AB)0.28 所求概率为事件B发生条件下A发生的条件概率 P(A|B)0.28/0.64 所求概率为事件A发生条件下B发生的条件概率 P(B|A)0.28/0. 4,P(A|B)在B发生的所有可能结果中AB发生的概率 即在样本空间中考虑的条件概率P(A|B)，就变成在新的样本空间B中计算事件AB的概率问题了,（1）条件概率（续）,一旦事件B已发生,乘法公式的一般形式：,P(AB) P(A)P(B|A) 或 P(AB) P(B)P(A|B),【例3-6】对例3-1中的问题（从这50件中任取2件产品，可以看成是分两次抽取，每次只抽取一件，不放回抽样） 解：A1第一次抽到合格品，A2第二次抽到合格品，A1A2抽到两件产品均为合格品 P(A1 A2)P(A1)P(A2| A1),事件的独立性,两个事件独立 一个事件的发生与否并不影响另一个事件发生的概率 P(A|B)P(A)，或 P(B|A)P(B),独立事件的乘法公式：,P(AB) P(A)P(B),推广到n 个独立事件，有：,P(A1An)P(A1)P(A2) P(An),3. 全概率公式,完备事件组 事件A1、 A2、An互不相容， AA2An 且P(Ai ) 0（i=1、2、.、n） 对任一事件B，它总是与完备事件组A1、 A2、An之一同时发生，则有求P(B)的全概率公式：,例3-7,假设有一道四选一的选择题，某学生知道正确答案的可能性为2/3，他不知道正确答案时猜对的概率是1/4。试问该生作出作答的概率？ 解：设 A知道正确答案，B选择正确。 “选择正确”包括： “知道正确答案而选择正确”（即AB） “不知道正确答案但选择正确”（即 ） P(B)（2/3）1（1/3）（1/4）3/4,全概率公式贝叶斯公式,全概率公式的直观意义： 每一个Ai的发生都可能导致B出现，每一个Ai 导致B发生的概率为，因此作为结果的事件B发生的概率是各个“原因”Ai 引发的概率的总和 相反，在观察到事件B已经发生的条件下，确定导致B发生的各个原因Ai的概率 贝叶斯公式（逆概率公式） （后验概率公式）,贝叶斯公式,若A1、 A2、An为完备事件组，则对于任意随机事件B，有：,计算事件Ai在给定B条件下的条件概率公式。 公式中，P(Ai)称为事件Ai的先验概率 P(Ai|B)称为事件Ai的后验概率,3.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念 二、随机变量的概率分布 三、随机变量的数字特征 四、常见的离散型概率分布 五、常见的连续型概率分布,一、随机变量的概念,3.2 随机变量及其概率分布,一、随机变量的概念,随机变量表示随机试验结果的变量 取值是随机的，事先不能确定取哪一个值 一个取值对应随机试验的一个可能结果 用大写字母如X、Y、Z.来表示，具体取值则用相应的小写字母如x、y、z来表示 根据取值特点的不同，可分为： 离散型随机变量取值可以一一列举 连续型随机变量取值不能一一列举,二、随机变量的概率分布,3.2 随机变量及其概率分布,1. 离散型随机变量的概率分布 2. 连续型随机变量的概率密度 3. 分布函数,1. 离散型随机变量的概率分布,X的概率分布X的有限个可能取值为xi与其概率 pi（i=1，2，3，n）之间的对应关系。 概率分布具有如下两个基本性质： （1） pi0，i=1,2,n； （2）,离散型概率分布的表示：,概率函数：P(X= xi)= pi 分布列：