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第四章 定积分 4.1.2 定积分,复习回顾,曲边梯形面积求法,分割:,如果 是区间 上的最小值,,作和式:,一般地,设函数在 区间 上连续,用分点,如果 是区间 上的最大值,则 是曲边梯形面积的过剩估计值;,则 是曲边梯形面积的不足估计值.,讲授新课,其中, 叫作积分号, 叫作积分的下限, 叫作积分,的上限, 叫作被积函数, 叫作积分变量,,叫作积分区间.,基本概念,概念说明,(2).用定义求积分的一般方法是:,分割 近似代替 求和 取极限,(3).定积分的值与积分变量用什么字母表示无关,,即有,曲边梯形面积:,变速运动路程:,变力做功:,定积分的几何意义,O,之间各部分面积的代数和,在 轴上,说明:一般情况下,定积分 的几何意义,方的面积取正号,在 轴下方的面积取负号,是介于 轴、函数 的图形以及直线,上方取正,下方取负,例:说明下列定积分所表示的几何意义,并根据,其意义求出定积分的值.,(1),(2),(3),;,;,.,;,(4),o,1,解(1):,中所示长方形的面积,,表示的是图,由于这个长方形的面,积为2.,所以,2,o,1,解(2):,中所示梯形的面积,,表示的是图,由于这个梯形的面,所以,1,2,2,积为 .,o,解(3):,半径为1的半圆的面,表示的是图中所示,由于这个半圆,所以,o,1,-1,1,的面积为 .,积,,o,解(4):,是图中所示三角形,表示的,所以,的面积之差,,上 方 取 正 ,下 方 取 负,由于,定积分的基本性质,(1),(2),(3),(4),其中(2)(3)叫作定积分的线性性质,(4)叫作定积分对积分区间的可加性,性质1,性质4,补充规定:,定积分的基本性质,推广1,推广2,练习2:用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所围成的图形面积 .,小结,定积分的实质:特殊和式的逼近值,定积分的思想和方法:,求近似以直(不变)代曲(变),取逼近,3.定积分的几何意义及简单应用,
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