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角平分线的性质,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角,,这条射线叫做这个角的平分线。,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度,,叫做点到直线的距离。,A,O,B,尺规作图:,作法:1、以_为圆心, _长为半径作圆弧, 与角的两边分别交于C、 D两点;,2、分别以_为圆心, _的长为半径 作弧,两条圆弧交于 AOB内一点_;,3、作射线_;,_就是所求作的射线。,点O,适当,C、D,超过CD一半,E,OE,OE,观察领悟作法,探索思考证明方法:,A,为什么OC是角平分线呢?,想一想:,已知:OM=ON,MC=NC。 求证:OC平分AOB。,证明:在OMC和ONC中, OM=ON, MC=NC, OC=OC, OMC ONC(SSS) MOC=NOC 即:OC平分AOB,练习1:平分平角AOB。 归纳:“过直线上一点作这条直线的垂线”的方法。,作已知角的平分线,将 AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?,可以看一看,第一条折痕是AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到AOB两边的距离,这两个距离相等.,折一折,探究2,角平分线的性质,已知:如图,OC是AOB的平分线,点P在OC上,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E。,求证:PD=PE,证明: PDOA,PEOB(已知) PDO=PEO=90(垂直的定义),在PDO和PEO中, PD=PE(全等三角形的对应边相等), PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO(AAS),角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,证明几何命题的一般步骤: 1、明确命题的已知和求证 2、根据题意,画出图形,并用数学符号表示已知和求证; 3、经过分析,找出由已知推出求证的途径,写出证明过程。,角平分线的性质,定理:角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为:,A,O,B,P,1,2, 1= 2 PD OA ,PE OB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有三个,必须写完全,不能少了任何一个。,角平分线的性质,角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件:,定理的作用:,证明线段相等。, 如图,AD平分BAC(已知), = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,(),判断:,练习2, 如图, DCAC,DBAB (已知), = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,(), AD平分BAC, DCAC,DBAB (已知), = ,( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,练习3,如图, OC是AOB的平分线, 又 _ PD=PE ( ),PDOA,PEOB,角的平分线上的点 到角的两边的距离相等,在OAB中,OE是它的角平分线,且EA=EB,EC、ED分别垂直OA,OB,垂足为C,D. 求证:AC=BD.,例题讲解,练习4,在ABC中, C=90 ,AD为BAC的平分线,DEAB,BC7,DE3. 求BD的长。,,,练习5,3 . 如图,DEAB,DFBC,垂足分别是E,F, DE =DF, EDB= 60,则 EBF= 度,BE= 。,60,BF,4 如图,在ABC中,C=90,DEAB,1=2,且AC=6cm,那么线段BE是ABC的 ,AE+DE= 。,角的平分线,6cm,5.已知ABC中, C=900,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少?,A,B,C,D,E,你会吗?,1 如图,在ABC中,C=90 AD是BAC的平分线,DEAB于E,F在AC上,BD=DF; 求证:CF=EB,巩固提高,3 如图,的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点 求证:点到三边,所在直线的距离相等,F,G,H,更上一层楼!,这节课我们学习了哪些知识?,小 结,1、“作已知角的平分线”的尺规作图法;,2、角的平分线的性质: 111角的平分线上的点到角的两边的距离相等。, OC是AOB的平分线, 又 PDOA,PEOB PD=PE (角的平分线上的点 到角的两边距离相等).,几何语言:,
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