第五章 平面向量 5.1 平面向量的基本概念与线性运算,高考理数,考点一 平面向量的基本概念与线性运算 1.向量的有关概念及表示法,知识清单,2.平面向量的线性运算,考点二 向量的共线问题 向量共线的判断: (1)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是有且只有一个实 数,使得 b=a ; (2)若a与b是两个非零向量,则它们共线的充要条件是存在两个均不是 零的实数、,使 a+b=0 .,1.解题的关键在于搞清构成三角形的三个向量间的相互关系,能熟练地 找出图形中的相等向量,能熟练地运用相反向量将加减法相互转化. 2.用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:观察各向量的位 置;寻找相应的三角形或多边形;运用法则找关系;化简结果. 3.适当选择基底是解题关键. 例1 (2017河北衡水中学三调考试,6)在ABC中, = ,若P是直线 BN上的一点,且满足 =m + ,则实数m的值为 ( B ) A.-4 B.-1 C.1 D.4,平面向量的线性运算技巧和数形结合的方法,方法技巧,解析 根据题意设 =n (nR),则 = + = +n = +n( - )= +n =(1-n) + ,又 =m + , 解得 故选B.,1.两非零向量共线是指存在实数使两向量可以互相表示. 2.向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时,通常只有非零向量才 能表示与之共线的其他向量,要注意待定系数法和方程思想的运用. 3.证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共 线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线. 4.A、B、C三点共线 = + 且+=1.特别地,当= 时,C为 线段AB的中点. 例2 (2017广东七校联考,5)已知向量i,j不共线,且 =i+mj, =ni+j,m 1,若A,B,D三点共线,则实数m,n应满足的条件是 ( C ) A.m+n=1 B.m+n=-1 C.mn=1 D.mn=-1,向量共线问题的解决方法,解题导引,解析 因为A、B、D三点共线,所以 ,存在非零实数,使得 = ,即i+mj=(ni+j),所以(1-n)i+(m-)j=0,又因为i与j不共线,所以 则mn=1,故选C.,