高 等 数 学,主讲人 宋从芝,河北工业职业技术学院,本讲概要,3.2 洛必达法则,型未定式,型未定式,其他类型的未定式,定理,一. 型未定式,如果,在点x0 的左右近旁函数 f(x) 和(x)都可导，且, 存在（或为无穷大），则,函数 f(x) 和(x) 在点x0 的左右近旁（除去x0）,有定义，且,和,(x) 0；,例1 求,解,这是 型未定式,例2 求,解,例3 求,解,但是若不满足洛必达法则的条件，则不能再用法则，否则要导致错误的结果。,若使用洛必达法则后，仍是 型，可继续使用洛必达法则。,注：,练习 求,求,二. 型未定式,对于 型未定式，也有相应的洛必达法则。,在相应的条件下，只要 存在（或无穷大），也有下述结论：,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,练习 求,求,有些极限虽是未定式，但不能用洛必 达法则求出极限值，此时可考虑用其它方法 求其极限。,注意：,例7 求,解,例8 求,解,利用两次洛必达法则后，又还原为原来的问 题，形成了循环，则洛必达法则失效。,例8 求,解,三.其它类型的未定式,未定式0、00、1、0都可以转化为,型或 型未定式。,例9 求,解,0：,方法,例10 求,解,：,方法,通分化为分式,例11 求,解,00、1、0：,方法,使用f(x)=elnf(x)将lnf(x)化为0。,例12 求,解,其中,例12 求,解,00、1、0：,方法,使用f(x)=elnf(x)将lnf(x)化为0。,00、1、0：,总结未定式的计算方法,使用 f (x) = e lnf(x) 将 lnf(x) 化为 0。,0：,：,通分化为分式,使用洛必达法则,小结 作业 习题3.2 2(2)(4)(6)(7) 3(1)(3)(5),利用洛比达法则时： 使用条件；,课堂作业 2(2)(4),可反复用；,结合他法；,失效。,Thank You !,