4.5 罗朗级数及展开方法,4.5.1罗朗级数,因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数(4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性. 我们规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.,解： 函数 f (z) 在圆环域 i) 0 |z| 1; ii) 1| z| 2; iii) 2 |z| + 内是处处解析的, 应把 f (z)在 这些区域内展开成洛朗级数.,2) 在1 |z| 2内：,3) 在2|z|+内:,例2 把函数,解 因有,函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析, 因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括泰勒展开式作为它的特例). 我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆. 所谓洛朗展开式的唯一性, 是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.,例如在 z=i 和z=-i处展开函数 为洛朗级数。,在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i, 分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上.,因此, f (z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在|z-i|1中的泰勒展开式; 2)在1|z-i|2中的洛朗展开式; 3)在2|z-i|+中的洛朗展开式;,在复平面内有一个奇点: z=0在以-i为中心的圆周:|z+i|=1上.,因此, f (z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个: 1)在0 |z+i|1中的洛朗展开式; 2)在1|z+i| +中的洛朗展开式。,特别的，当洛朗级数的系数公式,（即可利用Laurent系数计算积分）,其中C为圆环域R1|z-z0|R2内的任何一条简单闭曲线, f (z) 在此圆环域内解析.,例,解：,例4,解：,故c-1=-2,