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2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。1从名男生和2名女生中,任选2人参加英语口语比赛,若2人中至少有1名男生的概率为,则的值为 ( )A3 B4 C5 D6【答案】B【解析】.2将向量按向量平移得到向量,则 ( )A B C5 D【答案】C【解析】由向量平移的不变性可知,.3对任意,下列不等式正确的是 ( )A BC D【答案】C【解析】取,由知A错误; 取,由知B错误;取,由知D错误;由知C正确.4在中,若为锐角,则实数的取值范围是( )A BC D【答案】D【解析】为锐角,且A、B、C三点不共线,解得.5已知函数满足,则的值为 ( )A3 B2 C1 D【答案】C【解析】的周期由已知条件,可求得,故【另解】由,联想到两角和的正切公式,设,则有,则,故6已知,则函数的最小值是 ( )A BC D【答案】D【解析】,当时,当时,.7已知为的最小内角,若向量,则的取值范围是 ( )A B C D【答案】C【解析】,.8已知函数,则的图像的交点个数为 ( )A1个 B2个 C3个 D无数个【答案】A【解析】 ,从而的图像只有一个交点.【另解】,构造函数,则在上单调递增,从而,从而的图像只有一个交点.9定义,则的值为 ( )A B1CD89【答案】B【解析】.10若函数在定义域内满足,有以下命题:函数可以为一次函数;函数的最小正周期一定为6;若函数为奇函数且,则在区间上至少有11个零点;若且,则当且仅当时,函数满足已知条件.其中错误的是 ( )A BCD【答案】D【解析】由,可得, ,的周期.而一次函数没有周期,从而错误;若,则的周期为任意非零实数,从而错误;对于,又为奇函数,所以在区间上至少有11个解,从而正确;开 始是(11题图)结 束否对于,当时,函数也符合已知条件,从而错误.二、填空题:本大题共7小题,每小题7分,共49分。11如图执行右面的程序框图,那么输出的值为 【答案】【解析】.12函数的值域是 【答案】【解析】由函数得:当x的终边落在第一象限时,有f (x)=sin2x(0,1;当x的终边落在第二象限时,有f (x)=0;当x的终边落在第三象限时,有f (x)=sin2x1,0);当x的终边落在第四象限时,有f (x)=0;当x的终边落在两个坐标轴上时,有f (x)=0.32188 3 0 7 6 80(13题图)综上所述, f (x)的值域是.13美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA篮球明星,下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图,这些数据的平均值和方差分别为 【答案】25,【解析】平均值,方差.14方程的解集为 【答案】【解析】令,则,原方程的解集为.【另解】,取等条件是,原方程的解集为.15设集合,其中符号表示不大于x的最大整数,则 【答案】【解析】,的值可取.当x=,则,x=; 当x=,则,无解; 当x=0,则,无解. 当x=1,则,无解; 综上.16函数的最小值为 【答案】1【解析】先求定义域,易得,故为偶函数,从而只需考虑在上的最小值,注意到两个根号内的函数在上都递增,故在上递增,故当时取到最小值17对于一切实数,不等式恒成立,则的取值范围是 【答案】【解析】恒成立恒成立,当时,显然符合题意;当时,若,显然成立;当时,若,则原命题恒成立,而,且当时,从而,解得.三、解答题:本大题共3小题,共51分18(本题满分16分)已知关于的方程的两根为和.()求实数的值;()求的值.解:(),为方程的两根, 则有:, -4分 由(2)、(3)有:, 解得:,此时,又,;-8分 () -12分且, ,.-16分19(本题满分17分)设实数,函数.()当时,判断的单调性;()求实数的范围,使得对于区间上的任意三个实数,都存在以为边长的三角形.解:易知的定义域为,且为偶函数.()当时,令,则关于的函数在上单调递增,在上单调递减,-3分又定义域为,而在上单调递减,由复合函数的单调性可知,在上单调递减,在上单调递增;-7分()令,从而原问题等价于求实数的范围,使得在区间上,恒有.-10分(1)当时,在上单调递减,在上单调递增,由得,从而;.-12分(2)当时,在上单调递减,在上单调递增,由得,从而;.-14分(3)当时,在上单调递减, 由得,从而;.-16分综上,.-17分20(本题满分18分)函数的定义域为,且满足:对于任意的,;在区间上单调递增.求();()不等式的解集.解:()令,则,所以或,-2分令,则,令,则,-4分若,则,因为在上单调递增,所以,矛盾!因此,-6分(),. 令,则,所以的图像关于直线对称. -8分 再证的图像关于原点对称. 令,所以,因为,所以,令,有,对上式令,则,所以. -10分又因为,所以对任意的,恒有,所以的图像关于原点对称. -12分所以对于任意,从而的最小正周期为.-14分这样可以大致描述的图像(如右)令,因为,所以,所以.-16分由,可得. 根据图像,可知,所以不等式的解集是.-18分10
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