2.3 幂函数（一）,2.3 幂函数,知识点一 幂函数的概念,答案 底数为x，指数为常数,梳理 一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数,函数yx,知识点二 五个幂函数的图象与性质,1.在同一平面直角坐标系内函数(1)yx；(2) (3)yx2；(4)yx1；(5)yx3的图象如图.,2.五个幂函数的性质,R,R,R,R,R,0，),x|x0,0，),y|y0,0，),奇,偶,奇,奇,非奇非偶,增,增,增,减,减,减,知识点三 一般幂函数的图象特征,一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都过点 ； (2)当0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间0，)上是 函数.特别地，当1时，幂函数的图象 ；当01)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从 到 的顺序排列.,(1,1),原点,下凸,上凸,0,小,大,增,思考辨析 判断正误 1.y 是幂函数.( ) 2.当x(0,1)时，x2x3.( ) 3. 与 定义域相同.( ) 4.若yx在(0，)上为增函数，则0.( ),例1 已知 是幂函数，求m，n的值.,类型一 幂函数的概念,解答,反思与感悟 幂函数与指数函数、对数函数的定义类似，只有满足函数解析式右边的系数为1，底数为自变量x，指数为常数这三个条件，才是幂函数.如：y3x2，y(2x)3，y 都不是幂函数.,y2x2由于出现系数2，因此不是幂函数； yx2x是两项和的形式，不是幂函数； y1x0(x0)，可以看出，常数函数y1的图象比幂函数yx0的图象多了一个点(0,1), 所以常数函数y1不是幂函数.,答案,解析,类型二 幂函数的图象及应用,解答,解得2，则f(x)x2.同理可求得g(x)x2. 在同一坐标系里作出函数f(x)x2和g(x)x2的图象 (如图所示)，观察图象可得： 当x1或xg(x)；,(2)f(x)g(x)；,解答,解 当x1或x1时，f(x)g(x)；,(3)f(x)g(x).,解答,解 当1x1且x0时，f(x)g(x).,引申探究,解答,解 h(x)的图象如图所示：,反思与感悟 由幂函数的定义确定函数解析式，掌握幂函数的图象特点，数形结合可求解关于幂函数的不等式与方程.,答案,解析,跟踪训练2 幂函数yx(0)，当取不同的正数时，在区间0,1上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数yx，yx的图象三等分，即有BMMNNA，则等于 A.1 B.2 C.3 D.无法确定,1.故选A.,命题角度1 比较大小 例3 设 则a，b，c的大小关系是 A.abc B.bac C.bca D.cba, ，即ac.bac.故选B.,解析,类型三 幂函数性质的应用,答案,反思与感悟 此类题在构建函数模型时要注意幂函数的特点：指数不变.比较大小的问题主要是利用函数的单调性，特别是要善于应用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的中间量.,跟踪训练3 比较下列各组数中两个数的大小：,解答,解 00.31， yx0.3在(0，)上为增函数.,解答,解 yx1在(，0)上是减函数，,解答,解 yx0.3在(0，)上为增函数，,又y0.3x在(，)上为减函数， 由知,命题角度2 幂函数性质的综合应用 例4 已知幂函数yx3m9 (mN*)的图象关于y轴对称且在(0，)上单调递减，求满足 的a的取值范围.,解答,解 因为函数在(0，)上单调递减，所以3m932a0或32aa10或a1032a，,反思与感悟 幂函数yx中只有一个参数，幂函数的所有性质都与的取值有关，故可由确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，也可由这些性质去限制的取值.,跟踪训练4 已知幂函数 (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；,解答,解 mN*， m2mm(m1)为偶数. 令m2m2k，kN*，则f(x) ， 定义域为0，)，在0，)上f(x)为增函数.,(2)若函数还经过(2， )，试确定m的值，并求满足f(2a)f(a1)的实数a的取值范围.,解答,解 m2m2， 解得m1或m2(舍去)， 由(1)知f(x)在定义域0，)上为增函数， f(2a)f(a1)等价于2aa10，,答案,1,2,3,4,5,解析,达标检测,2.以下结论正确的是 A.当0时，函数yx的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数yx的图象关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增 大而增大 D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限,答案,A.1,3 B.1,1 C.1,3 D.1,1,3,答案,1,2,3,4,5,4.若a0，则0.5a,5a,5a的大小关系是 A.5a5a0.5a B.5a0.5a5a C.0.5a5a5a D.5a5a0.5a,答案,解析,所以5a0.5a5a.,5.先分析函数 的性质，再画出其图象.,解答,规律与方法,1.幂函数yx(R)，其中为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准. 2.幂函数yx的图象与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)当0时，图象过点(0,0)，(1,1)，在第一象限的图象上升；当0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性，当1时，曲线下凸；当01时，曲线上凸；当0时，曲线下凸.,