第三章 随机变量的数字特征,本章问题引入： 两射击运动员的射击水平相近，在相同条件下进行射击，以什么标准来衡量出他们成绩的好与坏呢？又如某厂家在决定购买某品牌的集成电路板时，既需要考虑该品牌集成线路板的平均使用寿命，又要关心单板寿命与平均寿命的偏离程度，以确保自己产品的质量。 某商场要依据天气预报来决定节日是在商场内还是在商场外搞促销活动。统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得经济效益4万元；在商场外的促销活动如果不遇有雨天气可获经济效益13万元，如果促销活动中遇到有雨天气则带来经济损失4万元。9月30日气象台预报国庆节当地有雨的概率是45%，商场应该如何选择促销方式？又如，有关部门要通过了解某地区中学入学新生的体重、身高情况来分析这些学生的身体发育状况，需要从这些学生中抽取一部分学生，对他们的体重、身高的数据进行统计处理。怎样抽取一部分学生才能较好地反映全体学生的情况？怎样估计学生身体发育状况的平均水平？怎样估计学生身体发育的总体分布状况？以上问题涉及到表示随机变量的某些特征的数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量某些方面的重要特征.我们称其为随机变量的数字特征，它在理论和实践上都具有重要的意义.本章将介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差、相关系数和数字特征的应用.,3.1 数学期望 3.1.1 离散型随机变量的数学期望 我们知道离散型随机变量的分布列全面地描述了这个随机变量的统计规律，但在许多实际问题中，这样的“全面描述”有时并不方便.例如，已知在一个同一品种的母鸡群，一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量，如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量，通常只要比较两个品种母鸡的年产蛋量的平均值就可以了.平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋量高，当然是“较好”的品种，这时如果不去比较它的平均值，而只看它的分布列，虽然“全面”，却使人不得要领，既难以掌握，又难以迅速作出判断.这样的例子可以举出很多.例如：要比较不同班级的学习成绩通常就是比较考试中的平均成绩；要比较不同地区的粮食收成，一般也只要比较平均亩产量等.可见平均值在实际中的重要.现在，先看一个例子. 【例1】 为测定一批种子发芽所需的平均天数,随机选取100粒种子进行发芽试验,其中发芽的有98粒,有关种子的发芽情况见表3-1. 试求种子发芽所需的平均天数.,解 98粒种子发芽所需的平均天数为 这里需要指出的是,虽然98粒种子发芽分别用了16由于每天发芽的种子数并不相同，因此，98粒种子发芽所需的平均天数不再是（1+2+3+4+5+6）6=3.5。这是因为，随机变量取值的平均值既与它取哪些值有关，又与每个可能取值发生的概率有关。而例1中随机变量（发芽所需天数）取每个值（1，2，3，4，5，6）的可能性是不相等的，因此算术平均值已不能反映随机变量取值的平均值。从例1的计算中可以发现，这个平均值应该是随机变量的一切可能取值与其相应的概率乘积的总和，也就是以概率为权重的加权平均值。这便是概率论中的重要概念数学期望。 定义 1 设离散型随机变量X的分布列为 ，则称和式 为离散型随机变量X的数学期望，记作 = （3-1-1） 或记EX，即数学期望等于离散型随机变量的所有可能取值与其对应概率乘积之和.,【例2】 设随机变量X的分布律为 求E(X). 解 【例3】 甲乙两台机床日生产能力相当，一天生产废品件数的概率分布见表32，问哪一台机床的性能好些？ 解 甲机床日产废品的平均数为0.9件,少于乙机床日产废品的平均数1.3件,故甲机床的性能好些.,【例4】 某家电商场对某品牌冰箱采用先使用后付款的方式进行促销.若记使用寿命为X(以年计),规定: 设寿命X服从指数分布,概率密度为 试求该商场该品牌冰箱的平均售价。 解 先求出寿命X落在各个时间区间的概率，按题意有,一台冰箱收费Y的分布律为 于是E（Y）= 15000.0952 + 20000.0861+25000.0779+30000.7408 2732 (元) 即该品牌冰箱每台平均售价约为2732元. 下面求解几个常用的离散型随机变量的数学期望. 1.二点分布 二点分布的分布律为 X 0 1 P p q 其中 ，所以二点分布的数学期望 2.二项分布 二项分布的分布律为 ，所以 ,令 ;当k=1时， ，当k=n时， ，于是有 即二项分布的数学期望E(X)=np . 二项分布的期望是np，直观上也比较容易理解这个结果.因为X是n次试验中某事件A出现的次数，它在每次试验时出现的概率为p，那么次试验时当然平均出现了np次. 3.泊松分布 泊松分布的分布律为 所以 令 ，当k=1时， ，则 即泊松分布的参数 就是随机变量的数学期望,3.1.2连续型随机变量的数学期望 对于连续型随机变量数学期望概念的引入，大体上可以在离散型随机变量数学期望基础上，沿用高等数学中生成定积分的思路，改求和为积分即可. 定义 2 设随机变量 ， 如果积分 绝对收敛，称积分 的值为随机变量 的数学期望记为 （3-1-2） 【例5】设随机变量X的密度函数为 解 利用分部积分法可得：E(x)=0 下面我们求解几种常见的连续型随机变量的数学期望. 1均匀分布 均匀分布的密度函数为 ，所以 即均匀分布的数学期望.,2指数分布 指数分布的密度函数为 ，所以 . 即指数分布的数学期望 . 3正态分布 如果 ，则E(X)= 设 ，则 ，于是 上式右端第一项的被积函数为奇函数，它在对称区间上的积分为0，第二项的被积函数为正态分布 的密度函数，所以其在 上的积分值为1，于是 .即正态分布的参数 恰好是随机变量的数学期望. 可见，数学期望作为体现集中位置的数字特征，往往要比分布本身更能直观地显示随机变量取值的平均状态这一特征从而再次说明了引入数字特征的必要,3.1.3 随机变量函数的数学期望 1X为离散型随机变量 定理 设g(x)是连续函数，是随机变量X的函数：Y=g(x) （）设是离散型随机变量，其分布律为 若 收敛，则有 （3-1-3） （）设是连续型随机变量，概率密度为f(x)，若积分 ，则有 （3-1-4） 从期望定义不难理解这个定理结论的正确性。例如，对式（3-1-3），把g(X)看成一个新随机变量，那么当X以概率 取值 时，g(X)以概率 取值 ，因而它的期望当然应该是 ，对于式子（3-1-4）也一样 上面定理的重要性在于它提供了计算随机变量的函数g(X)的期望的一个简便方法，不需要先求g(X)的分布，直接利用的分布因为有时候求g(X)的分布并不那样容易 定理也可以推广到两个随机变量的函数 的情况例如，对于离散型情况，设 ，则有 （3-1-） 对于连续型情况，设f(x，y)是概率密度，则有 （3-1-）,【例6】 已知随机变量 解 【例7】 设（X，Y）的概率分布如下： 求 的期望 解 由式（3-1-）得：,【例8】 设风速X是一个随机变量，在0，a上服从均匀分布，而收音机的两翼受到的压力Y与风速X的平方成正比， 解 X的密度函数为 3.1.4 数学期望的性质 数学期望的性质主要有(假设E(X),E(Y)存在): 1.若c为常数,则E(c) = c; 2. 若c为常数,则E(cX)= cE(X); 3.对任意的随机变量X与Y,有 E(X+Y) = E(X) + E(Y);(此性质可推广到有限个情形) 4.若X与Y相互独立E(XY) = E(X)E(Y).(此性质可推广到有限个情形),【例9】 将n个求放入个盒子中，设每个球落各个盒子的可能性相等，求有球的盒子数的期望 解 引入随机变量 则 ，由期望的性质有： 只须求出 每个随机变量 都服从两点分布，由于落入各个盒子的可能性相等，均为 ，则对于第i个盒子，一个球不落入这个盒子的概率为 个球都不落入这个盒子的概率为 ，即 从而 = 这个例子有着丰富的实际背景例如，把个盒子看成个“银行自动取款机”，n个球看成个“取款人”，设每个人到哪个取款机取款是随机的，那么E(X)就是处于服务状态的取款机的平均个数,习题3.1 1.设随机变量X的概率分布为 ,求E(X). 2.袋中有3只黑球1只白球,今从中一个一个不放回地摸取,直到摸出白球为止.若记摸取次数为X,试求E(X). 3.设随机变量XB(100,0.5),若Y = 2X+3,试求E(X),E(Y). 4.设随机变量X的概率密度为 试求E(X). 5.设随机变量X的概率分布为,3.2 方差 3.2.1 方差的定义 数学期望这一数字特征固然重要，但是在某种情况下只有数学期望，常常不足以显示随机变量取值规律的另外基本特征. 【例1】 已知射手甲命中环数 的分布列为 ；射手乙命中环数 的分布列为 .试据此对射手甲、乙的射击水平作出评判. 解 易知，他们的平均命中率是相同的，即 . 如果在竞技比赛中，无评判细则可循，那么据此可断言他们有相同的射击水平而并列于同一名次.但是应该指出，甲、乙射手射击水平的差异确是存在的.从分布列看，甲的命中环数分散，显得不很稳定，相比之下乙要稳定一些. 为了定量描述这样的差异性而引入第二类数字特征，即方差.,定义1 对于随机变量 ，如果存在 ，则称它为随机变量 的方差，记为 (3-2-1) 方差的算术平方根称为均方差或标准差，记为 均方差要说明的问题，原则上与方差是一致的，所不同的是：方差毋需开方，在统计分析中常被采用，标准差与随机变量有相同的量纲，在工程技术中广为使用. 根据定义1及上节之定理，在离散型场合下，其分布律为 (3-2-2) 在连续型场合下, 其密度函数为P(x),则可得 (3-2-3) 可见, 随机变量的方差是一个非负数,离散型场合下由它的分布列惟一确定, 连续型场合下由其分布密度惟一确定. 较大方差对应着的随机变量取值与它的数学期望有较大偏离,即随机变量取值比较分散.反之,则表示随机变量取值比较集中. 因此, 方差是衡量随机变量取值集中(分散)程度的数字特征.,运用上面的公式计算方差有时是不方便的 .为此,引入简化公式 (3-2-4) 事实上 【例2】 设离散型随机变量的概率分布为 ，求D(X) 解 【例3】 设是连续型随机变量，其密度函数为 求D(X) 解 所以,【例4】 设随机变量X服从参数为 解 由于X的密度函数为 3.2.2方差的性质 方差具有以下性质（假设D（X），D（Y）存在）： 若C为常数,则D(C) = 0 ; 2. 若C为常数,则D(CX)= 3. 若X与Y相互独立,有 D(X+Y) = D(X) + D(Y