1.5 克莱姆(Cramer)法则,一、线性方程组的基本概念,二、克莱姆(Cramer)法则,三、小结,第一章 行列式,一、线性方程组的基本概念,从实际问题导出的线性方程组通常含有很多个,未知量和很多个方程，它的一般形式为,（1）,其中,是未知量，,是未知量的系数，,叫做常数项或方程的,右端，这里m与n未必相等.,线性方程组（1）的解是指这样的一组数,当用它们依次替换方程组(1)中的未知量,时，方程组中的每个方程都成立.,如果,则（1）变成,（2）,（2）叫做(1)的对应齐次线性方程组，而（1）称,为非齐次线性方程组.显然，,是,齐次线性方程组（2）的解，并称为（2）的零解,当m=n时，方程组（1）变成,（3）,叫做n阶线性方程组.,在n阶线性方程组（3）中，它的系数,组成的,称为方程组（3）的,系数行列式.,二、克莱姆(Cramer)法则,定理1（克莱姆法则）如果线性方程组（3）的,系数行列式,，即,，则方程组(3)有惟一解,，,，,，,其中,是把系数行列式D中的第j列元素,对应换为常数项,例1 求解线性方程组,解 系数行列式,所以方程组有唯一解，而,，,，,，,由克莱姆法则得,，,，,，,当线性方程组（3）的行列式为零的时候，会出现,两种情况：一是无解；一是无穷多解对于这种,情况的详细讨论将在第三章进行,对于n阶齐次线性方程组,而言，有下面两个推论,推论1 若齐次线性方程组,的系数行列式,，则方程组只有零解.,推论2 若齐次线性方程组,有非零解,则系数行列式,例2 判断方程组,是有零解还是有非零解?,解 由于系数行列式,所以方程组只有零解.,例3 已知,有非零解, 求 k .,解 因为方程组的系数行列式为,由推论2知，它的系数行列式,，即,故k=1或k=-1.,三、本章小结,概要,本章重点内容可以归结为三个方面：,一个概念（n阶行列式）,两种计算行列式的方法,九类可直接求出的行列式,一、n阶行列式,n阶行列式|aij|n是所有不同行不同列元素乘积的代数和， 其定义可分为三个步骤，,取项 (不同行不列),冠符 (以逆序数确定符号),求和 (乘积项的和）,|aij|n,此处行指标是标准排列，若非标准排列，那如何确定符号呢？,二、九类可直接求出的行列式,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,n阶范德蒙德行列式,三、两种计算行列式的方法,计算行列式可归结为两个字：,化简,化简为前面九类基本行列式,降阶,最常用最基本的就是把行 列式化为上三角行列式,利用行列式性质，在某一行 （列）构造出尽可能多的零， 再按该行（列）展开,构造尽可能多的零,