11.2 余弦定理余弦定理(二二) 学习目标 1.熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理 判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题 知识点一 余弦定理及其推论 1a2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos_C 2cos A，cos B，cos C b2c2a2 2bc c2a2b2 2ca a2b2c2 2ab 3在ABC 中，c2a2b2C 为直角，c2a2b2C 为钝角；c20) a sin A b sin B c sin C 则 aksin A，bksin B，cksin C. 代入中，有 cos A a cos B b sin C c ，变形可得： cos A ksin A cos B ksin B sin C ksin C sin Asin Bsin Acos Bcos Asin Bsin(AB) 在ABC 中，由 ABC， 有 sin(AB)sin(C)sin C， 所以 sin Asin Bsin C. (2)解 由已知，b2c2a2 bc， 6 5 根据余弦定理，有 cos A .所以 sin A . b2c2a2 2bc 3 51cos2A 4 5 由(1)知，sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以 sin B cos B sin B， 4 5 4 5 3 5 故 tan B4. sin B cos B 反思与感悟 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的在有关三 角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解同时， 要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息 (2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应 用 跟踪训练 2 在ABC 中，内角 A，B，C 对边分别为 a，b，c，且 bsin Aacos B. 3 (1)求角 B； (2)若 b3，sin C2sin A，求 a，c 的值 解 (1)由 bsin Aacos B 及正弦定理， 3 得 sin Bcos B， 3 即 tan B，因为 B 是三角形的内角，所以 B . 3 3 (2)由 sin C2 sin A 及正弦定理得，c2a. 由余弦定理及 b3，得 9a2c22accos ， 3 即 9a24a22a2，所以 a，c2. 33 题型三 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式 例 3 在ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，求证：. a2b2 c2 sin（AB） sin C 证明 在ABC 中，由余弦定理得 a2b2c22bccos A， b2a2c22accos B， a2b2b2a22bccos A2accos B， 2(a2b2)2accos B2bccos A， 即 a2b2accos Bbccos A， . a2b2 c2 acos Bbcos A c 由正弦定理得 ， ， a c sin A sin C b c sin B sin C ， a2b2 c2 sin Acos Bcos Asin B sin C sin（AB） sin C 故等式成立 反思与感悟 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异形式上一般有： 左右；右左或左中右三种 (2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、 余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系 跟踪训练 3 在ABC 中，若 acos2ccos2 ，求证：ac2b. C 2 A 2 3b 2 解 由题 a(1cos C)c(1cos A)3b， 即 aacc3b， a2b2c2 2ab b2c2a2 2bc 2aba2b2c22bcb2c2a26b2， 整理得 abbc2b2，同除 b 得 ac2b， 故等式成立 例 4 已知钝角三角形的三边 BCak，ACbk2，ABck4，求 k 的取值范围 错解 cba，且ABC 为钝角三角形， C 为钝角 由余弦定理得 cos C0， 由知 0k4，即 k2. 正解 cba，且ABC 为钝角三角形， C 为钝角 由余弦定理得 cos Ck4， k2， 由可知 23，则 x 对角的余弦值x， 2232x2 2 2 3 解得3， 22x232 2 2 x 解得 1 0 12a232 21a 0 13 a 1a 3 ) 210 5在ABC 中，若 b1，c，C，则 a_ 3 2 3 答案 1 解析 由余弦定理得 c2a2b22abcos C， a21a3，即 a2a20， 解得 a1 或 a2(舍) 6已知ABC 的三边长分别为 2，3，4，则此三角形是_三角形 答案 钝角 解析 4 所对的角的余弦为 0， 223242 2 2 3 1 4 故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形 1.判断三角形形状的基本思想是：用正弦定理或余弦定理将所给条件统一为角之间的关系 或边之间的关系若统一为角之间的关系，再利用三角恒等变形化简找到角之间的关系；若 统一为边之间的关系，再利用代数方法进行恒等变形、化简，找到边之间的关系 2解决综合问题时应考虑以下两点 (1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为 重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理 (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角公式列式化简 的习惯